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Questão de Matemática — Funções — FGV 2023

MatemáticaFunções
Código
fg068578
Banca
FGV
Órgão
SEDUC-TO
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor da Educação Básica - Professor Regente - Matemática
Considere a função f: [0, 3π/2 ] → ℝ tal quef(x) = sen (2x − π/3 ) + 1/2Chama-se zero da função f(x) ao valor de x que anula f.A soma de todos os zeros dessa função é
  1. A5π/6
  2. B11π/6
  3. C19π/12
  4. D21π/12
  5. E23π/12
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 23π/12

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Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a A soma dos zeros é 23π/12, alternativa E..

A ideia por trás

Zero de uma função é o valor de x que torna f(x) = 0. Para funções trigonométricas, isso significa resolver uma equação trigonométrica, considerando o domínio restrito — aqui, [0, 3π/2]. A função seno é periódica, então a equação geral tem infinitas soluções, mas só interessam as que estão dentro do intervalo dado. A banca explora exatamente a necessidade de verificar quais soluções pertencem ao domínio.

O que a questão dá

  • f(x) = sen(2x - π/3) + 1/2

  • domínio: [0, 3π/2]

O que queremos: a soma de todos os zeros da função f

Passo 1 — Igualar a função a zero

Para encontrar os zeros, precisamos resolver f(x) = 0. Isso transforma o problema em uma equação trigonométrica, que é o ponto de partida para achar os valores de x.

Por que esta fórmula: A definição de zero de uma função é exatamente f(x) = 0, então aplicamos isso à função dada.

sin⁡(2x−π3)+12=0\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2} = 0

De onde vem cada valor: sin⁡(2x−π3)\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = enunciado: f(x) = sen(2x - π/3) + 1/2 · 12\frac{1}{2} = enunciado: + 1/2

sin⁡(2x−π3)+12=0\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2} = 0
sin⁡(2x−π3)=−12\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \boxed{-\frac{1}{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 1/2 dos dois lados, ficando com sen = 1/2.

Passo 2 — Resolver a equação trigonométrica fundamental

Agora temos sen(θ) = -1/2. Precisamos lembrar quais ângulos têm seno igual a -1/2. No círculo trigonométrico, o seno é negativo no terceiro e quarto quadrantes, e os ângulos correspondentes são 7π/6 e 11π/6 (no intervalo [0, 2π)). Como o seno é periódico, adicionamos 2kπ para obter todas as soluções.

Por que esta fórmula: A solução geral de sen(θ) = a é θ = α + 2kπ ou θ = π - α + 2kπ, onde α é o arco cujo seno é a. Aqui, α = 7π/6 (pois sen(7π/6) = -1/2) e π - α = 11π/6.

2x−π3=7π6+2kπou2x−π3=11π6+2kπ2x - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi

De onde vem cada valor: 2x−π32x - \frac{\pi}{3} = passo 1: argumento do seno · 7π6\frac{7\pi}{6} = círculo trigonométrico: sen = -1/2 no 3º quadrante · 11π6\frac{11\pi}{6} = círculo trigonométrico: sen = -1/2 no 4º quadrante · 2kπ2k\pi = período do seno

2x−π3=7π6+2kπou2x−π3=11π6+2kπ2x - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi

duas famílias de soluções

NÃO CAIA NESSA!

Usar apenas um dos ângulos (ex.: 7π/6) e esquecer o outro (11π/6), perdendo soluções.

Passo 3 — Isolar x nas duas famílias

Precisamos expressar x em função de k para depois testar quais valores caem no domínio. Isolamos x somando π/3 e dividindo por 2.

Por que esta fórmula: A equação é linear em x, então resolvemos algebricamente: somamos π/3 aos dois lados e depois dividimos por 2.

x=3π4+kπoux=13π12+kπx = \frac{3\pi}{4} + k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{13\pi}{12} + k\pi

De onde vem cada valor: 3π4\frac{3\pi}{4} = passo 2: (7π/6 + π/3)/2 = (7π/6 + 2π/6)/2 = (9π/6)/2 = 3π/4 · 13π12\frac{13\pi}{12} = passo 2: (11π/6 + π/3)/2 = (11π/6 + 2π/6)/2 = (13π/6)/2 = 13π/12 · kπk\pi = passo 2: 2kπ/2 = kπ

x=3π4+kπoux=13π12+kπx = \frac{3\pi}{4} + k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{13\pi}{12} + k\pi

x = 3π/4 + kπ ou x = 13π/12 + kπ

NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma de frações: 7π/6 + π/3 = 7π/6 + 2π/6 = 9π/6, não 8π/6.

Passo 4 — Selecionar as soluções no domínio

O domínio é [0, 3π/2]. Precisamos testar valores de k para ver quais x estão dentro desse intervalo. Como o domínio é limitado, só alguns k funcionam.

Por que esta fórmula: Para cada família, variamos k (inteiro) e verificamos se x ∈ [0, 3π/2]. Isso é uma análise de intervalo.

0≤x≤3π20 \le x \le \frac{3\pi}{2}

De onde vem cada valor: 00 = enunciado: domínio [0, 3π/2] · 3π2\frac{3\pi}{2} = enunciado: domínio [0, 3π/2]

0≤3π4+kπ≤3π2ou0≤13π12+kπ≤3π20 \le \frac{3\pi}{4} + k\pi \le \frac{3\pi}{2} \quad \text{ou} \quad 0 \le \frac{13\pi}{12} + k\pi \le \frac{3\pi}{2}

x = π/12, x = 3π/4, x = 13π/12

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de testar k = -1 na segunda família, perdendo a solução π/12.

Passo 5 — Somar os zeros encontrados

A questão pede a soma de todos os zeros. Já temos os três zeros, então basta somá-los, colocando no mesmo denominador.

Por que esta fórmula: Soma de frações com denominadores diferentes: precisamos de um denominador comum, que é 12.

S=π12+3π4+13π12S = \frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{4} + \frac{13\pi}{12}

De onde vem cada valor: π12\frac{\pi}{12} = passo 4: zero da segunda família com k = -1 · 3π4\frac{3\pi}{4} = passo 4: zero da primeira família com k = 0 · 13π12\frac{13\pi}{12} = passo 4: zero da segunda família com k = 0

S=π12+9π12+13π12S = \frac{\pi}{12} + \frac{9\pi}{12} + \frac{13\pi}{12}
S=23π12S = \boxed{\frac{23\pi}{12}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter 3π/4 para 9π/12 antes de somar, resultando em erro de denominador.

Resposta: A soma dos zeros é 23π/12, alternativa E.

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