Matemática · FGV · 2023 | Questão sqc-fg068581

Progressão Aritmética: soma dos termos

Gabarito: letra B — Duílio atinge R$ 39,00 no dia 13 de março. A cada dia o pai deposita R$ 0,25 a mais que no anterior, formando uma progressão aritmética de razão 0,25; somando os depósitos (a partir de R$ 1,75 no dia 2) com os R$ 1,50 iniciais, o acumulado ultrapassa R$ 39,00 no 12º depósito, que ocorre no dia 13 de março.

A questão mistura dois conceitos: progressão aritmética (sequência em que cada termo é o anterior somado a uma constante, a razão) e soma dos termos de uma PA. Aqui, os valores diários recebidos do pai formam a PA: R$ 1,75; R$ 2,00; R$ 2,25; ... — razão $r = 0{,}25$ . O total acumulado após $n$ depósitos é a soma dos $n$ primeiros termos dessa PA, e precisamos que esse total, somado aos R$ 1,50 iniciais, seja maior ou igual a R$ 39,00.

A fórmula da soma dos $n$ primeiros termos de uma PA é:

S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

onde $a_1$ é o primeiro termo e $a_n$ é o $n$ -ésimo termo. Como $a_n = a_1 + (n-1)r$ , podemos reescrever:

S_n = \frac{[2a_1 + (n-1)r] \cdot n}{2}

Substituindo $a_1 = 1{,}75$ e $r = 0{,}25$ :

S_n = \frac{[2 \cdot 1{,}75 + (n-1) \cdot 0{,}25] \cdot n}{2} = \frac{[3{,}50 + 0{,}25n - 0{,}25] \cdot n}{2} = \frac{(3{,}25 + 0{,}25n) \cdot n}{2}

Queremos $1{,}50 + S_n \geq 39{,}00$ , ou seja, $S_n \geq 37{,}50$ .

Testando valores:

$n = 11$ : $S_{11} = \frac{(3{,}25 + 2{,}75) \cdot 11}{2} = \frac{6{,}00 \cdot 11}{2} = 33{,}00$ → total $1{,}50 + 33{,}00 = 34{,}50$ (insuficiente)
$n = 12$ : $S_{12} = \frac{(3{,}25 + 3{,}00) \cdot 12}{2} = \frac{6{,}25 \cdot 12}{2} = 37{,}50$ → total $1{,}50 + 37{,}50 = 39{,}00$ (exatamente o valor!)

Portanto, são necessários 12 depósitos. O primeiro depósito ocorre no dia 2 de março; o 12º depósito ocorre no dia $2 + 11 = 13$ de março.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir contando os dias a partir do dia 1º (quando não houve depósito) ou esquecendo de somar os R$ 1,50 iniciais. Se você contar 12 dias a partir do dia 1º, chega a 12 de março (alternativa A) — mas o primeiro depósito é no dia 2, então o 12º depósito cai no dia 13. E se esquecer dos R$ 1,50, precisaria de $S_n \geq 39$ , o que só ocorre com $n = 13$ (dia 14, alternativa C). Fique atento a esses dois detalhes!

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o objetivo é atingido no dia 12 de março. Isso corresponderia a 11 depósitos (do dia 2 ao dia 12), cuja soma é R$ 33,00 — total de R$ 34,50, insuficiente. O erro está em contar os dias a partir do dia 1º, sem considerar que o primeiro depósito é no dia 2.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, são necessários 12 depósitos. O 12º depósito ocorre no dia 13 de março, quando o total acumulado atinge exatamente R$ 39,00 (R$ 1,50 + R$ 37,50).

Alternativa C — ❌ Incorreta

Dia 14 de março corresponderia a 13 depósitos. A soma dos 13 primeiros termos é $S_{13} = \frac{(3{,}25 + 3{,}25) \cdot 13}{2} = 42{,}25$ , totalizando R$ 43,75 — já teria ultrapassado o valor bem antes. O erro aqui é considerar que o objetivo só é atingido quando o total ultrapassa R$ 39,00, mas o enunciado diz "até que o acumulado atingisse a quantia desejada" — e R$ 39,00 exatos são atingidos no 12º depósito.

Alternativa D — ❌ Incorreta

29 de julho é um absurdo temporal: seriam mais de 140 dias de depósitos, acumulando centenas de reais. Evidencia que o candidato não aplicou a fórmula da soma e apenas chutou uma data distante.

Alternativa E — ❌ Incorreta

30 de julho, mesma lógica da anterior: data absurda, sem qualquer relação com o cálculo. O valor necessário é atingido em menos de duas semanas.

Gabarito: letra B