Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FGV 2023

Anagramas com restrições

Gabarito: letra A — a quantidade de anagramas da palavra TOCANTINS que começam com T e não terminam com S é expressa por $7! \times \frac{7}{2}$. Isso porque, fixando o T no início, sobram 7 posições para as outras 7 letras (com duas repetidas: o N e o T), e devemos excluir os casos em que o S fica no final, o que leva à expressão $\frac{7!}{2} \times 7$.

O que é um anagrama?

Um anagrama é uma permutação das letras de uma palavra, ou seja, uma reorganização da ordem das letras. Por exemplo, da palavra AMOR, podemos formar AMOR, ROMA, MORA, etc. Quando a palavra tem letras repetidas, o número de anagramas distintos é menor do que o fatorial do número de letras, pois trocar letras iguais de lugar não gera um anagrama novo.

A regra da permutação com repetição

Para calcular o número de anagramas de uma palavra com letras repetidas, usamos a permutação com repetição: dividimos o fatorial do total de letras pelo produto dos fatoriais das quantidades de cada letra repetida. Por exemplo, a palavra TOCANTINS tem 9 letras, sendo que o T aparece 2 vezes e o N aparece 2 vezes. O total de anagramas seria $\frac{9!}{2! \cdot 2!}$.

Resolvendo a questão

A palavra TOCANTINS tem 9 letras: T, O, C, A, N, T, I, N, S. As letras repetidas são T (2 vezes) e N (2 vezes).

Queremos anagramas que comecem com T e não terminem com S. Vamos calcular separadamente:

1. Fixar o T no início: como há dois T's, fixar um T no início deixa um T restante e as outras 7 letras (O, C, A, N, I, N, S) para permutar nas 8 posições restantes. O número de anagramas com T no início é a permutação de 8 letras com repetição de 2 (os dois N's): $\frac{8!}{2!} = \frac{8!}{2}$.

1. Excluir os que terminam com S: entre os anagramas que começam com T, queremos excluir aqueles que terminam com S. Fixando T no início e S no final, sobram 7 posições para as outras 7 letras (O, C, A, N, I, N), com repetição de 2 (os dois N's). O número desses anagramas é $\frac{7!}{2!} = \frac{7!}{2}$.

1. Subtrair: a quantidade desejada é $\frac{8!}{2} - \frac{7!}{2} = \frac{7! \cdot 8}{2} - \frac{7!}{2} = \frac{7! \cdot (8 - 1)}{2} = \frac{7! \cdot 7}{2}$.

Portanto, a expressão correta é $7! \times \frac{7}{2}$, que corresponde à alternativa A.

A pegadinha da banca

A banca explora a confusão entre começar com T e terminar com S de forma independente. O candidato pode esquecer de considerar a repetição das letras T e N, ou pode calcular apenas os anagramas que começam com T (sem excluir os que terminam com S), chegando a $\frac{8!}{2}$, que não está entre as alternativas. Outro erro comum é não subtrair corretamente os casos em que o S está no final, levando a expressões como $8! \times 7$ ou $7! \times 7$.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A expressão $7! \times \frac{7}{2}$ representa exatamente o cálculo feito: fixamos o T no início, permutamos as 7 letras restantes (com repetição de 2 N's) e subtraímos os casos em que o S está no final. O resultado é $\frac{7! \cdot 7}{2}$, que é a alternativa A.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A expressão $8! \times \frac{7}{2}$ está incorreta porque usa $8!$ em vez de $7!$. Isso acontece se o candidato considerar que, após fixar o T, há 8 posições para permutar as 8 letras restantes, mas esquece de subtrair os casos em que o S está no final. O correto é usar $7!$ (as 7 letras que não são T nem S) e multiplicar por 7 (as posições possíveis para o S, excluindo a última).

Alternativa C — ❌ Incorreta

A expressão $7! \times 4$ está incorreta porque o fator multiplicador deveria ser $\frac{7}{2}$, não 4. O número 4 não tem relação com a contagem: após fixar o T, temos 7 letras para permutar (com repetição de 2 N's), e o fator 7 vem das posições possíveis para o S (que não pode estar na última). O 4 não corresponde a nenhuma etapa do cálculo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A expressão $7! \times 7$ está incorreta porque não divide por 2. Isso acontece se o candidato esquece que há duas letras N repetidas, o que reduz o número de anagramas pela metade. O correto é $7! \times \frac{7}{2}$, que já considera a repetição do N.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A expressão $8! \times 7$ está incorreta por dois motivos: usa $8!$ em vez de $7!$ e não divide por 2. Isso ocorre se o candidato considera que, após fixar o T, há 8 posições para permutar as 8 letras restantes, mas esquece de subtrair os casos em que o S está no final e também esquece da repetição do N. O correto é $7! \times \frac{7}{2}$.

Gabarito: letra A