Professor da Educação Básica - Professor Regente - Matemática
Se todos os 9 termos provenientes do desenvolvimento de (x²/y + y²/x)⁸ forem escritos na forma Ti= ai . xm . yn expoentes de x decrescendo, em que m e n são, respectivamente, os expoentes inteiros de x e y, i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} é o indicador da posição de cada termo no desenvolvimento e ai é o respectivo coeficiente, é correto afirmar que m e n serão simultaneamente positivos apenas para i igual a
A4, 5 e 6.
B5, 6 e 7.
C3, 4 e 5.
D3, 4, 5 e 6.
E4, 5, 6 e 7.
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GabaritoA — 4, 5 e 6.
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a i = 4, 5 e 6 (alternativa A).
A ideia por trás
O Binômio de Newton é a fórmula que expande potências de uma soma: (a+b)^n = Σ C(n,k) a^(n-k) b^k. Cada termo tem um coeficiente binomial e potências de a e b. Aqui, a e b são frações com x e y, então precisamos combinar os expoentes de cada variável. A condição de m e n positivos significa que ambos os expoentes são maiores que zero, o que restringe os valores de k. Nesta questão, aplicamos o termo geral e resolvemos as desigualdades para achar os termos que satisfazem.
O que a questão dá
expressão: (x²/y + y²/x)⁸
9 termos no desenvolvimento
termo geral: T_i = a_i · x^m · y^n
expoentes de x decrescentes
O que queremos: os valores de i para os quais m e n são simultaneamente positivos
Passo 1 — Escrever o termo geral do binômio
Precisamos de uma expressão para cada termo do desenvolvimento. O Binômio de Newton fornece o termo geral: T_{k+1} = C(8,k) A^(8-k) B^k, onde A e B são os dois termos da soma. Aqui, A = x²/y e B = y²/x.
Por que esta fórmula: É a fórmula padrão do binômio, que dá todos os termos com seus coeficientes e potências.
T_k+1 = binom8k (fracx^2y)^8-k (fracy^2x)^k
De onde vem cada valor: = enunciado: expoente 8 · fracx^2y = enunciado: primeiro termo da soma · fracy^2x = enunciado: segundo termo da soma
T_k+1 = binom8k (fracx^2y)^8-k (fracy^2x)^k
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que o expoente do binômio é 8, não 9.
Passo 2 — Calcular os expoentes de x e y
Cada fator tem potências de x e y. Precisamos somar os expoentes de cada variável para obter m e n. Lembre: quando uma fração é elevada a uma potência, o expoente multiplica os expoentes do numerador e do denominador (com sinal negativo para o denominador).
Por que esta fórmula: Usamos as propriedades de potências: (a^p)^q = a^(pq) e 1/a^p = a^(-p).
De onde vem cada valor: = passo 1: expoente de x em (x²/y)^(8-k) · = passo 1: expoente de x em (y²/x)^k (denominador) · = passo 1: expoente de y em (x²/y)^(8-k) (denominador) · = passo 1: expoente de y em (y²/x)^k
m = 16 - 3k, n = 3k - 8
NÃO CAIA NESSA!
Errar o sinal do expoente quando a variável está no denominador.
Passo 3 — Impor m e n positivos
Queremos que ambos os expoentes sejam maiores que zero. Isso gera duas desigualdades que restringem os valores possíveis de k.
Por que esta fórmula: A condição é m > 0 e n > 0, então resolvemos cada desigualdade separadamente.
De onde vem cada valor: = passo 2: expressão de m · = passo 2: expressão de n
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que k é inteiro e considerar valores fracionários.
Passo 4 — Converter k para a posição i
O termo geral é T_{k+1}, então a posição i é k+1. Precisamos mapear os valores de k para i.
Por que esta fórmula: A relação é direta: i = k+1.
De onde vem cada valor: = passo 3: valores de k · = definição do termo geral