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Questão de Matemática — Sistemas Lineares — FGV 2023

MatemáticaSistemas Lineares
Código
fg068588
Banca
FGV
Órgão
SEDUC-TO
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor da Educação Básica - Professor Regente - Matemática
Sejam x, y, z e w números racionais positivos tais quex + y + z = 3,7x + y + w = 2,8x + z + w = 3,5x + z + w = 3,2A diferença entre o maior e o menor desses quatro números é
  1. A1,0.
  2. B0,9.
  3. C0,8.
  4. D0,7.
  5. E0,6.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 0,9.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 0,9 (alternativa B).

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações que relacionam as mesmas incógnitas. Aqui, cada equação soma três das quatro incógnitas. A ideia-chave é que, somando todas as equações, cada incógnita aparece três vezes, permitindo encontrar a soma total S = x+y+z+w. Depois, subtraindo cada equação dessa soma, isolamos cada incógnita. Essa técnica funciona porque as equações são simétricas: cada incógnita aparece em exatamente três equações. Nesta questão, o sistema foi corrigido (a quarta equação é y+z+w = 3,2) e precisamos achar os valores individuais para comparar.

O que a questão dá

  • x + y + z = 3,7

  • x + y + w = 2,8

  • x + z + w = 3,5

  • y + z + w = 3,2

O que queremos: a diferença entre o maior e o menor dos números x, y, z, w

Passo 1 — Somar as quatro equações

Precisamos de uma relação que envolva todas as incógnitas juntas. Somando as quatro equações, cada incógnita aparece três vezes, então obtemos 3(x+y+z+w) do lado esquerdo. Isso nos dá a soma total S, que será a base para isolar cada incógnita.

Por que esta fórmula: A soma das equações é útil porque cada incógnita aparece o mesmo número de vezes (três), permitindo fatorar o 3.

(x+y+z)+(x+y+w)+(x+z+w)+(y+z+w)=3,7+2,8+3,5+3,2(x+y+z) + (x+y+w) + (x+z+w) + (y+z+w) = 3{,}7 + 2{,}8 + 3{,}5 + 3{,}2

De onde vem cada valor: x+y+zx+y+z = enunciado: primeira equação · x+y+wx+y+w = enunciado: segunda equação · x+z+wx+z+w = enunciado: terceira equação · y+z+wy+z+w = enunciado: quarta equação (corrigida) · 3,73{,}7 = enunciado: primeira equação · 2,82{,}8 = enunciado: segunda equação · 3,53{,}5 = enunciado: terceira equação · 3,23{,}2 = enunciado: quarta equação

3,7+2,8+3,5+3,2=13,2=13,23{,}7 + 2{,}8 + 3{,}5 + 3{,}2 = 13{,}2 = \boxed{13{,}2}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os termos do lado direito corretamente, ou não perceber que cada incógnita aparece três vezes.

Passo 2 — Calcular a soma total S

Do passo anterior, temos 3(x+y+z+w) = 13,2. Para achar S = x+y+z+w, dividimos ambos os lados por 3. Isso é necessário porque as próximas subtrações usarão S.

Por que esta fórmula: A equação 3S = 13,2 vem diretamente da soma, e dividir por 3 isola S.

S=13,23S = \frac{13{,}2}{3}

De onde vem cada valor: 13,213{,}2 = passo 1 · 33 = coeficiente de S

S=13,23=4,4=4,4S = \frac{13{,}2}{3} = 4{,}4 = \boxed{4{,}4}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão: 13,2 ÷ 3 = 4,4, não 4,2 ou 4,5.

Passo 3 — Isolar w subtraindo a primeira equação

Com S conhecido, podemos achar cada incógnita. A primeira equação é x+y+z = 3,7. Como S = x+y+z+w, subtraindo a primeira equação de S, cancelamos x, y e z, sobrando w.

Por que esta fórmula: A relação S - (x+y+z) = w é direta da definição de S.

w=S−(x+y+z)w = S - (x+y+z)

De onde vem cada valor: SS = passo 2: 4,4 · x+y+zx+y+z = enunciado: primeira equação = 3,7

w=4,4−3,7=0,7w = 4{,}4 - 3{,}7 = 0{,}7
w=0,7w = \boxed{0{,}7}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair na ordem errada, ou usar a equação errada.

Passo 4 — Isolar z subtraindo a segunda equação

A segunda equação é x+y+w = 2,8. Subtraindo-a de S, cancelamos x, y e w, sobrando z.

Por que esta fórmula: Analogamente, S - (x+y+w) = z.

z=S−(x+y+w)z = S - (x+y+w)

De onde vem cada valor: SS = passo 2: 4,4 · x+y+wx+y+w = enunciado: segunda equação = 2,8

z=4,4−2,8=1,6z = 4{,}4 - 2{,}8 = 1{,}6
z=1,6z = \boxed{1{,}6}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com a terceira equação.

Passo 5 — Isolar y subtraindo a terceira equação

A terceira equação é x+z+w = 3,5. Subtraindo-a de S, cancelamos x, z e w, sobrando y.

Por que esta fórmula: S - (x+z+w) = y.

y=S−(x+z+w)y = S - (x+z+w)

De onde vem cada valor: SS = passo 2: 4,4 · x+z+wx+z+w = enunciado: terceira equação = 3,5

y=4,4−3,5=0,9y = 4{,}4 - 3{,}5 = 0{,}9
y=0,9y = \boxed{0{,}9}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a quarta equação por engano.

Passo 6 — Isolar x subtraindo a quarta equação

A quarta equação é y+z+w = 3,2. Subtraindo-a de S, cancelamos y, z e w, sobrando x.

Por que esta fórmula: S - (y+z+w) = x.

x=S−(y+z+w)x = S - (y+z+w)

De onde vem cada valor: SS = passo 2: 4,4 · y+z+wy+z+w = enunciado: quarta equação = 3,2

x=4,4−3,2=1,2x = 4{,}4 - 3{,}2 = 1{,}2
x=1,2x = \boxed{1{,}2}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a primeira equação, o que daria x = 0,7 (errado).

Passo 7 — Calcular a diferença entre o maior e o menor

Com todos os valores, identificamos o maior (z = 1,6) e o menor (w = 0,7). A diferença é a subtração entre eles.

Por que esta fórmula: A diferença entre dois números é o maior menos o menor.

diferenc¸a=z−w\text{diferença} = z - w

De onde vem cada valor: zz = passo 4: 1,6 · ww = passo 3: 0,7

diferenc¸a=1,6−0,7=0,9=0,9\text{diferença} = 1{,}6 - 0{,}7 = 0{,}9 = \boxed{0{,}9}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair na ordem errada (0,7 - 1,6 = -0,9) ou confundir os valores.

Resposta: 0,9 (alternativa B)

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