Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Funções — FGV 2023

MatemáticaFunções
Código
fg068590
Banca
FGV
Órgão
SEDUC-TO
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor da Educação Básica - Professor Regente - Matemática
Assinale a opção que apresenta a melhor aproximação para a área delimitada pelas retas y = 0,x = π/2 e pelo gráfico da função f (x) = x .cos(x).
  1. A0,60.
  2. B0,57.
  3. C0,54.
  4. D0,52.
  5. E0,50.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 0,57.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 0,57 (alternativa B).

A ideia por trás

A área sob uma curva é um conceito fundamental do Cálculo: ela mede o tamanho da região entre o gráfico da função e o eixo x, dentro de um intervalo. Para calculá-la, usamos a integral definida, que soma infinitas fatias verticais de área. A função f(x) = x·cos(x) é o produto de x (que cresce) por cos(x) (que decresce de 1 a 0 no intervalo [0, π/2]), resultando em valores sempre positivos. A integral definida de uma função positiva entre dois limites dá exatamente a área sob a curva. Para integrar o produto de um polinômio por uma função trigonométrica, usamos a técnica de integração por partes, que inverte a regra do produto da derivada. Nesta questão, precisamos calcular a integral de 0 a π/2 de x·cos(x) e comparar com as alternativas.

O que a questão dá

  • y = 0 (eixo x)

  • x = π/2 (reta vertical)

  • f(x) = x·cos(x)

O que queremos: a área delimitada por essas curvas

Passo 1 — Reconhecer a área como integral definida

A área entre a curva, o eixo x e a reta vertical é exatamente a integral definida de f(x) de 0 até π/2. Como f(x) é positiva nesse intervalo, não precisamos de módulo.

Por que esta fórmula: A área sob uma curva y = f(x) de a até b é dada por ∫_a^b f(x) dx, desde que f(x) ≥ 0. Aqui, a = 0 e b = π/2.

A=∫0π/2x⋅cos⁡(x) dxA = \int_{0}^{\pi/2} x \cdot \cos(x) \, dx

De onde vem cada valor: x⋅cos⁡(x)x \cdot \cos(x) = enunciado: f(x) = x·cos(x) · 00 = enunciado: y = 0 (limite inferior) · π/2\pi/2 = enunciado: x = π/2 (limite superior)

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a área é a integral e tentar calcular por geometria simples, o que não funciona para curvas.

Passo 2 — Aplicar integração por partes

A integral envolve o produto de x por cos(x), que não tem primitiva imediata. A integração por partes é a técnica para integrar produtos de funções diferentes.

Por que esta fórmula: A fórmula ∫ u dv = uv - ∫ v du é a ferramenta para integrar produtos. Escolhemos u = x (que simplifica ao derivar) e dv = cos(x) dx (que é fácil de integrar).

∫xcos⁡(x) dx=xsin⁡(x)−∫sin⁡(x) dx\int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) - \int \sin(x) \, dx

De onde vem cada valor: xx = escolha: u = x · cos⁡(x)\cos(x) = escolha: dv = cos(x) dx · sin⁡(x)\sin(x) = integral de cos(x) dx

NÃO CAIA NESSA!

Escolher u = cos(x) e dv = x dx, o que complica em vez de simplificar.

Passo 3 — Calcular a primitiva

Precisamos da primitiva para avaliar a integral definida. A integração por partes resultou em uma integral simples de sin(x).

Por que esta fórmula: A integral de sin(x) é -cos(x), então substituímos e simplificamos.

∫xcos⁡(x) dx=xsin⁡(x)+cos⁡(x)+C\int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) + \cos(x) + C

De onde vem cada valor: xsin⁡(x)x \sin(x) = passo 2: x·sin(x) · cos⁡(x)\cos(x) = integral de -sin(x) é cos(x)

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de menos ao integrar sin(x), resultando em -cos(x) em vez de +cos(x).

Passo 4 — Avaliar nos limites de integração

A integral definida é a diferença da primitiva nos limites superior e inferior. Isso nos dá o valor numérico da área.

Por que esta fórmula: Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), onde F é a primitiva.

A=[xsin⁡(x)+cos⁡(x)]0π/2A = \left[ x \sin(x) + \cos(x) \right]_{0}^{\pi/2}

De onde vem cada valor: xsin⁡(x)+cos⁡(x)x \sin(x) + \cos(x) = passo 3: primitiva · π/2\pi/2 = enunciado: limite superior · 00 = enunciado: limite inferior

A=(π2⋅sin⁡(π2)+cos⁡(π2))−(0⋅sin⁡(0)+cos⁡(0))A = \left( \frac{\pi}{2} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) - \left( 0 \cdot \sin(0) + \cos(0) \right)
NÃO CAIA NESSA!

Confundir os valores de seno e cosseno nos limites, por exemplo, pensar que cos(π/2) = 1.

Passo 5 — Simplificar a expressão

Substituímos os valores conhecidos de seno e cosseno para obter uma expressão numérica simples.

Por que esta fórmula: Sabemos que sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0, sin(0) = 0, cos(0) = 1. Substituímos e simplificamos.

A=π2⋅1+0−(0+1)=π2−1A = \frac{\pi}{2} \cdot 1 + 0 - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1

De onde vem cada valor: π2⋅1\frac{\pi}{2} \cdot 1 = passo 4: (π/2)·sin(π/2) · 00 = passo 4: cos(π/2) · 11 = passo 4: cos(0)

A=π2−1A = \frac{\pi}{2} - 1
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao subtrair: esquecer que - (0 + 1) vira -1.

Passo 6 — Calcular o valor numérico

Precisamos do valor decimal para comparar com as alternativas. Usamos a aproximação de π.

Por que esta fórmula: π ≈ 3,1416, então π/2 ≈ 1,5708. Subtraindo 1, obtemos 0,5708.

A≈1,5708−1=0,5708A \approx 1{,}5708 - 1 = 0{,}5708

De onde vem cada valor: 1,57081{,}5708 = π/2 com π ≈ 3,1416 · 11 = passo 5: -1

A≈0,5708=0,5708A \approx 0{,}5708 = \boxed{0{,}5708}
NÃO CAIA NESSA!

Usar π ≈ 3,14, o que dá 0,57, mas ainda correto; porém, aproximações grosseiras como π ≈ 3 podem levar a 0,5.

Resposta: 0,57 (alternativa B)

Link permanente: /questoes/fg068590