Análise Combinatória: alocação com paridade de gênero
Gabarito: letra A. As propostas de Ana e Eva estão corretas, pois ambas representam, por caminhos diferentes, a contagem correta das maneiras de alocar 4 mulheres e 4 homens em 4 diretorias, cada uma com um diretor e um vice-diretor de sexos distintos. A proposta de Ivo está incorreta, pois não considera a distinção entre os cargos de diretor e vice-diretor dentro de cada diretoria.
O problema central é uma aplicação do princípio multiplicativo (princípio fundamental da contagem) combinado com a noção de arranjo, já que a ordem importa: dentro de cada diretoria, há um cargo de diretor e um de vice-diretor, que são posições distintas. Vamos decompor o raciocínio.
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos 8 funcionários: 4 mulheres (M1, M2, M3, M4) e 4 homens (H1, H2, H3, H4). Precisamos formar 4 diretorias, cada uma com exatamente 1 mulher e 1 homem. Além disso, em cada diretoria, uma pessoa será a diretora e a outra será a vice-diretora. Ou seja, a ordem dentro da dupla importa: (M1 como diretora, H1 como vice) é diferente de (H1 como diretor, M1 como vice).
Uma maneira de contar é pensar diretoria por diretoria. Para a primeira diretoria, temos 4 opções de mulher e 4 opções de homem, totalizando 4 × 4 = 16 combinações de gênero. Mas, para cada combinação, há 2 maneiras de atribuir os cargos (mulher diretora/homem vice, ou homem diretor/mulher vice). Então, para a primeira diretoria, temos 4 × 4 × 2 = 32 maneiras. Para a segunda diretoria, restam 3 mulheres e 3 homens, então 3 × 3 × 2 = 18 maneiras. Para a terceira, 2 × 2 × 2 = 8 maneiras. Para a quarta, 1 × 1 × 2 = 2 maneiras. Multiplicando tudo: 32 × 18 × 8 × 2 = 9216. Esse é o total de maneiras.
Agora, vamos analisar cada proposta:
Proposta de Ana: 8 × 4 × 6 × 3 × 4 × 2 × 2 × 1. Vamos interpretar: ela pode estar escolhendo primeiro o diretor da primeira diretoria (8 opções), depois a vice (4 opções, pois precisa ser do sexo oposto ao diretor), depois o diretor da segunda (6 opções restantes), depois a vice (3 opções do sexo oposto), e assim por diante. Isso dá 8 × 4 × 6 × 3 × 4 × 2 × 2 × 1 = 9216. Correta.
Proposta de Eva: (4!)² × 24. Vamos interpretar: (4!)² = 24 × 24 = 576. Isso pode representar a permutação das 4 mulheres entre as 4 diretorias (4! = 24) e a permutação dos 4 homens entre as 4 diretorias (4! = 24). Mas isso não define quem é diretor e quem é vice em cada diretoria. O fator 24 = 2⁴ representa justamente a escolha, em cada uma das 4 diretorias, de quem será o diretor (2 opções por diretoria: mulher ou homem). Então, (4!)² × 2⁴ = 576 × 16 = 9216. Correta.
Proposta de Ivo: 4 × 4 × 3 × 3 × 2 × 2 × 1 × 1. Vamos interpretar: ele escolhe, para a primeira diretoria, uma mulher (4 opções) e um homem (4 opções), mas não considera a ordem entre eles (quem é diretor e quem é vice). Para a segunda, 3 × 3, e assim por diante. Isso dá 4 × 4 × 3 × 3 × 2 × 2 × 1 × 1 = 576. Esse número conta apenas as combinações de duplas, sem distinguir os cargos. Como o problema pede a ocupação dos cargos de diretor e vice-diretor, a ordem importa, e a proposta de Ivo está incorreta.
A pegadinha aqui é justamente a distinção entre combinação (ordem não importa) e arranjo (ordem importa). O aluno que não percebe que diretor e vice-diretor são cargos distintos tende a concordar com a proposta de Ivo, que conta apenas as duplas.
Proposta | Expressão | Valor calculado | Correta? | Justificativa |
|---|
Ana | 8 × 4 × 6 × 3 × 4 × 2 × 2 × 1 | 9216 | V | Considera a ordem (diretor/vice) em cada diretoria |
Eva | (4!)² × 24 = 576 × 16 | 9216 | V | Permuta mulheres e homens entre diretorias e escolhe o cargo em cada uma (2⁴) |
Ivo | 4 × 4 × 3 × 3 × 2 × 2 × 1 × 1 | 576 | F | Não distingue diretor de vice-diretor dentro de cada diretoria |
Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A alternativa A afirma que apenas as propostas de Ana e Eva estão corretas. Como demonstrado, ambas as propostas chegam ao valor correto de 9216 maneiras, enquanto a proposta de Ivo resulta em 576, que é a metade do valor correto, pois não considera a distinção entre os cargos. Portanto, a alternativa A é a correta.
Alternativa B — ❌ Incorreta
A alternativa B afirma que apenas as propostas de Eva e Ivo estão corretas. Isso é falso, pois a proposta de Ivo está incorreta, como explicado. Ela não considera a ordem entre diretor e vice-diretor dentro de cada diretoria, contando apenas as combinações de duplas.
Alternativa C — ❌ Incorreta
A alternativa C afirma que apenas a proposta de Ana está correta. Isso é falso, pois a proposta de Eva também está correta. A proposta de Eva, (4!)² × 24, é uma forma válida de contar, pois permuta as mulheres entre as diretorias, permuta os homens entre as diretorias e, para cada diretoria, escolhe quem será o diretor (2⁴ = 16 maneiras).
Alternativa D — ❌ Incorreta
A alternativa D afirma que apenas a proposta de Ivo está correta. Isso é falso, pois a proposta de Ivo está incorreta, como já demonstrado. Ela não considera a distinção entre os cargos de diretor e vice-diretor.
Alternativa E — ❌ Incorreta
A alternativa E afirma que todas as propostas estão corretas. Isso é falso, pois a proposta de Ivo está incorreta. A proposta de Ivo resulta em 576, enquanto o valor correto é 9216.
Gabarito: letra A