Questão de Estatística — Amostragem aleatória simples — FGV 2023

Tamanho da amostra para proporção

Gabarito: letra D. Para garantir, com 99% de confiança, que a proporção amostral não se afaste da proporção populacional por mais de 1%, o tamanho mínimo da amostra é dado por $n = \dfrac{z^2 \cdot p \cdot q}{E^2}$. Como não conhecemos a proporção populacional, usamos o caso mais desfavorável, $p = q = 0{,}5$, e o valor crítico $z = 2{,}58$ (fornecido: $P[Z < 2{,}58] = 0{,}995$). Substituindo: $n = \dfrac{(2{,}58)^2 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5}{(0{,}01)^2} = 16.641 \approx 16.642$.

A questão cobra o cálculo do tamanho amostral para estimação de proporção, um tópico clássico de amostragem. A fórmula parte do erro máximo de estimação $E$, que é a metade da amplitude do intervalo de confiança. Para proporção, o erro é $E = z \sqrt{\dfrac{p \cdot q}{n}}$, e isolando $n$ obtemos a expressão acima. Como a proporção populacional $p$ é desconhecida, o procedimento conservador é adotar $p = 0{,}5$, que maximiza o produto $p \cdot q = 0{,}25$ e, portanto, fornece o maior tamanho amostral — garantindo a precisão desejada independentemente do valor real de $p$.

O nível de confiança de 99% corresponde a $\alpha = 0{,}01$. Como o intervalo é bilateral, a área em cada cauda é $\alpha/2 = 0{,}005$, e o valor crítico é $z = 2{,}58$, exatamente o dado no enunciado. O erro máximo é $E = 1\% = 0{,}01$. Com esses valores, o cálculo é direto.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1.032 resultaria de usar $z = 1{,}96$ (confiança de 95%) em vez de $2{,}58$, e/ou de um erro de cálculo. Com $z = 1{,}96$, teríamos $n = \dfrac{(1{,}96)^2 \cdot 0{,}25}{(0{,}01)^2} = 9.604$, que não é nenhuma das alternativas. Portanto, 1.032 não corresponde a nenhuma combinação razoável dos parâmetros fornecidos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 4.236 não corresponde ao cálculo correto. Se usássemos $z = 1{,}96$ e $E = 0{,}02$ (erro de 2%), teríamos $n = \dfrac{(1{,}96)^2 \cdot 0{,}25}{(0{,}02)^2} = 2.401$, que também não bate. O valor 4.236 parece ser um distrator sem relação direta com os dados do enunciado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 6.488 também não corresponde ao cálculo correto. Se usássemos $z = 2{,}58$ e $E = 0{,}02$, teríamos $n = \dfrac{(2{,}58)^2 \cdot 0{,}25}{(0{,}02)^2} = 4.160$, que é próximo, mas não igual. O valor 6.488 não é obtido com nenhuma combinação plausível dos parâmetros fornecidos.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo correto é: $n = \dfrac{(2{,}58)^2 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5}{(0{,}01)^2} = \dfrac{6{,}6564 \cdot 0{,}25}{0{,}0001} = \dfrac{1{,}6641}{0{,}0001} = 16.641$. Arredondando para cima (pois o tamanho da amostra deve ser inteiro e garantir a precisão), obtemos $n = 16.642$, exatamente a alternativa D.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 18.544 não corresponde ao cálculo correto. Se usássemos $z = 2{,}58$ e $E = 0{,}009$ (erro de 0,9%), teríamos $n = \dfrac{(2{,}58)^2 \cdot 0{,}25}{(0{,}009)^2} \approx 20.576$, que é maior. O valor 18.544 não é obtido com nenhuma combinação plausível dos parâmetros fornecidos.

Gabarito: letra D