Estatística · FGV · 2023 | Questão sqc-fg069469

Variância amostral (estimador não tendencioso)

Gabarito: letra B. A variância amostral que estima sem viés a variância populacional é calculada com o denominador $n-1$ (graus de liberdade). Para a amostra 2, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 10, a média é 6 e a soma dos quadrados dos desvios é 36; dividindo por $n-1 = 7$ , obtemos $s^2 \approx 5,14$ , que arredonda para 5,1.

A variância amostral é uma medida de dispersão que quantifica o quanto os valores se afastam da média. Quando usamos uma amostra para estimar a variância da população, precisamos corrigir o viés que surge ao usar a média amostral (que é calculada a partir dos próprios dados). Essa correção é feita dividindo a soma dos quadrados dos desvios por $n-1$ em vez de $n$ . O denominador $n-1$ é chamado de graus de liberdade, pois, conhecida a média amostral, apenas $n-1$ observações são livres para variar.

A fórmula da variância amostral é:

s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}

onde $\bar{x}$ é a média amostral e $n$ é o tamanho da amostra. Essa fórmula garante que o estimador seja não tendencioso, ou seja, em média, ele acerta o valor real da variância populacional.

A pegadinha clássica da banca é usar o denominador $n$ (que daria a variância populacional para dados completos) em vez de $n-1$ . Se o candidato dividir por $n$ , obtém 4,5, que é uma das alternativas (letra A). Por isso, é essencial identificar quando a questão pede a variância amostral (estimador não tendencioso) e aplicar o denominador correto.

Cálculo passo a passo

Calcular a média amostral ( $\bar{x}$ ):

\bar{x} = \frac{2+5+5+6+6+7+7+10}{8} = \frac{48}{8} = 6

Calcular os desvios em relação à média e seus quadrados:

$x_i$	$x_i - \bar{x}$	$(x_i - \bar{x})^2$
2	-4	16
5	-1	1
5	-1	1
6	0	0
6	0	0
7	1	1
7	1	1
10	4	16

Soma dos quadrados: $16+1+1+0+0+1+1+16 = 36$

Aplicar a fórmula da variância amostral:

s^2 = \frac{36}{8-1} = \frac{36}{7} \approx 5,14

Arredondando para uma casa decimal, temos $5,1$ .

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 4,5 corresponde à variância calculada com o denominador $n = 8$ (ou seja, $\frac{36}{8} = 4,5$ ). Esse é o erro clássico: usar o denominador $n$ em vez de $n-1$ . A banca coloca esse valor justamente para pegar quem esquece a correção de Bessel.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A variância amostral não tendenciosa é $s^2 = \frac{36}{7} \approx 5,14$ , que arredonda para 5,1. O denominador $n-1$ garante a propriedade de não viés, conforme a definição de estimador não tendencioso.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 5,5 não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados. Se o candidato cometer um erro de aritmética (por exemplo, somar os quadrados dos desvios como 38 em vez de 36), poderia chegar a $\frac{38}{7} \approx 5,43$ , mas não é o caso. Não há fundamento estatístico para esse valor.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 5,8 também não corresponde a nenhum cálculo correto. Poderia surgir de um erro na soma dos quadrados (por exemplo, $\frac{40,6}{7}$ ), mas não é o resultado correto. A banca inclui valores próximos para testar a precisão do cálculo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 6,2 é outro distrator. Se o candidato calcular a variância com denominador $n$ e errar a soma dos quadrados (por exemplo, $\frac{49,6}{8}$ ), poderia chegar a um valor próximo, mas não é o correto. Nenhum cálculo legítimo com os dados fornecidos produz 6,2.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre variância populacional (denominador $n$ ) e variância amostral (denominador $n-1$ ). A alternativa A (4,5) é exatamente o resultado de dividir por $n$ , e muitos candidatos caem nela. Lembre-se: quando a questão pede a estimativa não tendenciosa da variância populacional, use $n-1$ .

PEGA ESSA DICA!

Na hora da prova, identifique rapidamente se a questão pede variância amostral ou populacional. Se for amostral, o denominador é $n-1$ . Uma dica prática: calcule a soma dos quadrados dos desvios e divida por $n-1$ ; se o resultado bater com alguma alternativa, é essa. Treine com questões que misturam os dois conceitos para fixar.

Gabarito: letra B.