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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2023

MatemáticaProbabilidade
Código
fg069514
Banca
FGV
Órgão
SEFAZ-MG
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Auditor Fiscal da Receita Estadual - Auditoria e Fiscalização (Manhã)
Três mulheres M1, M2, M3 e seus respectivos maridos H1, H2, H3 sentam-se aleatoriamente em 6 cadeiras dispostas lado a lado. Sabe-se que cada mulher sentou ao lado do respectivo marido.A probabilidade de que as mulheres M1 e M3 tenham se sentado uma ao lado da outra é igual a
  1. A1/4.
  2. B1/6.
  3. C1/8.
  4. D1/16.
  5. E1/48.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 1/6.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 1/6 (alternativa B).

A ideia por trás

Probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Aqui, o espaço amostral é formado por todas as maneiras de os 3 casais se sentarem, respeitando a condição de que cada mulher fica ao lado do marido. Essa condição transforma cada casal em um bloco de duas pessoas adjacentes, o que simplifica a contagem: primeiro organizamos os blocos, depois a ordem interna de cada bloco (marido à esquerda ou à direita). Como as cadeiras são lado a lado, a ordem dos blocos é uma permutação de 3 elementos, e cada bloco tem 2 arranjos internos. O evento favorável é que M1 e M3 fiquem juntas, o que depende tanto da ordem dos blocos quanto da orientação interna de cada bloco. Nesta questão, a condição de cada mulher ao lado do marido é o que permite tratar os casais como blocos, e a probabilidade pedida envolve contar as configurações em que os blocos 1 e 3 estão adjacentes e as mulheres ficam nos lados que se tocam.

O que a questão dá

  • 3 casais: (M1,H1), (M2,H2), (M3,H3)

  • 6 cadeiras lado a lado

  • cada mulher sentou ao lado do respectivo marido

O que queremos: a probabilidade de M1 e M3 terem se sentado uma ao lado da outra

Passo 1 — Tratar cada casal como um bloco

Como cada mulher sentou ao lado do marido, cada casal forma um bloco de duas pessoas adjacentes. Isso reduz o problema de 6 pessoas para 3 blocos, facilitando a contagem.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a condição do enunciado já garante que os casais estão juntos, e tentar contar todas as 6! permutações sem essa restrição.

Passo 2 — Contar o total de configurações possíveis

Para calcular a probabilidade, precisamos do número total de maneiras de organizar os 3 blocos, considerando também a ordem interna de cada bloco (marido à esquerda ou à direita da mulher).

Por que esta fórmula: O número total de configurações é o produto das permutações dos 3 blocos (3!) pelas 2 orientações internas de cada bloco (2^3), pois cada bloco pode ser arranjado de 2 maneiras independentemente.

Ntotal=3!×23N_{total} = 3! \times 2^{3}

De onde vem cada valor: 3!3! = permutação dos 3 blocos · 232^{3} = cada bloco tem 2 orientações internas (marido à esquerda ou à direita)

Ntotal=6×8=48=48 configurac\co~esN_{total} = 6 \times 8 = 48 = \boxed{48\ \text{configura}çõ\text{es}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2^3, contando apenas as ordens dos blocos (6), o que levaria a uma probabilidade errada.

Passo 3 — Contar as configurações em que M1 e M3 ficam juntas

Agora precisamos contar os casos favoráveis: M1 e M3 devem estar uma ao lado da outra. Isso exige que os blocos 1 e 3 estejam adjacentes e que as mulheres fiquem nos lados que se tocam.

Por que esta fórmula: Vamos contar por casos: primeiro, as ordens dos blocos em que os blocos 1 e 3 estão juntos; depois, para cada ordem, as orientações internas que colocam M1 e M3 nos lados que se tocam.

NÃO CAIA NESSA!

Achar que basta os blocos 1 e 3 estarem juntos, sem considerar a orientação interna das mulheres.

Passo 4 — Calcular o número de casos favoráveis

Vamos detalhar a contagem: se os blocos 1 e 3 estão juntos, eles podem estar na ordem (1,3) ou (3,1). Para cada ordem, a mulher do bloco da esquerda deve estar à direita do marido, e a do bloco da direita deve estar à esquerda do marido, para que fiquem juntas. O bloco 2 pode estar em qualquer uma das duas pontas, e sua orientação interna é livre (2 opções).

Por que esta fórmula: Para a ordem (1,3): o bloco 1 à esquerda, bloco 3 à direita. M1 deve estar à direita de H1 (1 opção), M3 deve estar à esquerda de H3 (1 opção). O bloco 2 pode estar à esquerda de tudo ou à direita de tudo (2 posições), e sua orientação interna tem 2 opções. Então contribuição: 2 (posições do bloco 2) × 1 × 1 × 2 = 4. O mesmo para a ordem (3,1): mais 4. Total = 8.

Nfav=2×(2×1×1×2)N_{fav} = 2 \times (2 \times 1 \times 1 \times 2)

De onde vem cada valor: 22 = orientação interna do bloco 2 (livre) · 11 = orientação interna do bloco 3 (M3 do lado que toca o bloco 1)

Nfav=2×(2×1×1×2)=2×4=8N_{fav} = 2 \times (2 \times 1 \times 1 \times 2) = 2 \times 4 = 8

NfavN_{fav} = 8 configurações favoráveis

NÃO CAIA NESSA!

Contar apenas as ordens dos blocos (4) sem considerar as orientações internas, ou contar as orientações de forma errada.

Passo 5 — Calcular a probabilidade

Com o total de configurações (48) e o número de casos favoráveis (8), a probabilidade é a razão entre eles.

Por que esta fórmula: Probabilidade = casos favoráveis / casos possíveis.

P=NfavNtotalP = \frac{N_{fav}}{N_{total}}

De onde vem cada valor: NfavN_{fav} = passo 4: 8 · NtotalN_{total} = passo 2: 48

P=848=16=1 /6P = \frac{8}{48} = \frac{1}{6} = \boxed{1\ /6}
NÃO CAIA NESSA!

Simplificar errado a fração, ou usar o total de 6 (apenas ordens dos blocos) em vez de 48.

Resposta: 1/6 (alternativa B)

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