Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FGV 2023

Equivalências lógicas: contrapositiva, recíproca e inversa

Gabarito: letra C — apenas a afirmativa III é logicamente equivalente à proposição dada. A equivalência fundamental de uma condicional $P \rightarrow Q$ é a contrapositiva $\neg Q \rightarrow \neg P$; as afirmativas I e II são, respectivamente, a inversa e a recíproca, que não são equivalentes à original.

A questão cobra um dos pontos mais clássicos da lógica proposicional: saber quais transformações de uma condicional preservam seu valor lógico. Vamos montar o mapa completo para você nunca mais errar.

Seja $P$ = "o cliente pagou" e $Q$ = "o cliente é devedor". A proposição dada é $P \rightarrow \neg Q$ (se pagou, então não é devedor).

As três formas derivadas de uma condicional $A \rightarrow B$ são:

A contrapositiva é a única equivalente porque ela inverte e nega os dois termos — e isso preserva a relação de implicação. A recíproca e a inversa são equivalentes entre si (uma é a contrapositiva da outra), mas não à original.

Aplicando à proposição dada ($P \rightarrow \neg Q$):

• Contrapositiva: $\neg(\neg Q) \rightarrow \neg P$, ou seja, $Q \rightarrow \neg P$ → "Se o cliente é devedor, então não pagou" → afirmativa III ✅

• Recíproca: $\neg Q \rightarrow P$ → "Se o cliente não é devedor, então pagou" → afirmativa II ❌

• Inversa: $\neg P \rightarrow \neg(\neg Q)$, ou seja, $\neg P \rightarrow Q$ → "Se o cliente não pagou, então é devedor" → afirmativa I ❌

Afirmativa I — ❌ Falsa

A afirmativa I é a inversa da proposição original: nega o antecedente e o consequente, mantendo a ordem. A inversa não é logicamente equivalente à condicional original. A banca explora exatamente essa confusão: o candidato acha que negar os dois lados preserva o sentido, mas isso só vale para a contrapositiva (que também nega, mas inverte a ordem).

Afirmativa II — ❌ Falsa

A afirmativa II é a recíproca da proposição original: inverte a ordem sem negar os termos. A recíproca não é equivalente à condicional original. O erro clássico aqui é acreditar que "se pagou, então não é devedor" implica "se não é devedor, então pagou" — mas a condicional não é bicondicional; pode haver outras razões para não ser devedor além do pagamento.

Afirmativa III — ✅ Verdadeira ⟵ GABARITO

A afirmativa III é a contrapositiva da proposição original: inverte a ordem e nega os dois termos. A contrapositiva é sempre logicamente equivalente à condicional original. Aqui, $\neg(\neg Q) \rightarrow \neg P$ simplifica para $Q \rightarrow \neg P$, que é exatamente "Se o cliente é devedor, então não pagou".

Gabarito: letra C — corretas apenas as afirmativas I e III? Não: correta apenas a III; I e II são falsas. Portanto, a sequência é F, F, V → letra C.