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Questão de Matemática — Porcentagem — FGV 2023

MatemáticaPorcentagem
Código
fg069517
Banca
FGV
Órgão
SEFAZ-MG
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Auditor Fiscal da Receita Estadual - Auditoria e Fiscalização (Manhã)
Fábio fez um empréstimo de R$ 10.000,00 em uma financeira que cobra 3% de juros ao mês. Após 30 dias do recebimento do empréstimo Fábio pagou R$ 3.000,00 para a financeira, diminuindo sua dívida. Após 30 dias desse primeiro pagamento Fábio fez um pagamento de R$ 4.000,00 para a financeira e, 30 dias após esse último pagamento, Fábio liquidou sua dívida fazendo o terceiro pagamento à financeira.O valor do terceiro pagamento de Fábio foi de
  1. AR$ 3.700,00.
  2. BR$ 3.927,27.
  3. CR$ 2.790,00.
  4. DR$ 3.181,70.
  5. ER$ 3.624,57.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — R$ 3.624,57.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a R$ 3.624,57 (alternativa E).

A ideia por trás

Juros compostos são a forma de crescimento de uma dívida em que os juros de cada mês incidem sobre o valor já acrescido dos juros anteriores. Isso significa que a dívida cresce de forma exponencial: a cada mês ela é multiplicada por (1 + i), onde i é a taxa mensal. No mundo real, é assim que funcionam financiamentos e empréstimos: se você não paga tudo de uma vez, o saldo devedor continua rendendo juros sobre o valor total devido, incluindo os juros que já foram cobrados. A relação que governa é M = C × (1 + i)^t, onde C é o capital inicial, i é a taxa por período e t é o número de períodos. Quando um pagamento é feito, ele abate do saldo devedor, mas os juros continuam incidindo sobre o saldo restante. Nesta questão, precisamos acompanhar o saldo devedor mês a mês: a cada mês, multiplicamos o saldo por 1,03 e subtraímos o pagamento feito. O terceiro pagamento é exatamente o saldo devedor após o segundo pagamento, capitalizado por mais um mês.

O que a questão dá

  • empréstimo inicial = R$ 10.000,00

  • taxa de juros = 3% ao mês

  • primeiro pagamento (após 30 dias) = R$ 3.000,00

  • segundo pagamento (após 60 dias) = R$ 4.000,00

  • terceiro pagamento (após 90 dias) = ?

O que queremos: o valor do terceiro pagamento que liquida a dívida

Passo 1 — Calcular a dívida após o primeiro mês

No primeiro mês, a dívida inicial de R$ 10.000,00 cresce 3% antes de qualquer pagamento. Precisamos saber quanto Fábio deve nesse momento para depois subtrair o primeiro pagamento.

Por que esta fórmula: Usamos a fórmula do montante composto M = C × (1 + i)^t porque a dívida cresce com juros compostos: o valor devido após um mês é o capital inicial multiplicado por (1 + 0,03).

M1=C×(1+i)1M_1 = C \times (1 + i)^{1}

De onde vem cada valor: CC = enunciado: R$ 10.000,00 · ii = enunciado: 3% ao mês = 0,03

M1=10000×(1+0,03)M_1 = 10000 \times (1 + 0{,}03)

M1M_1 = R$ 10.300,00

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter 3% para 0,03 e usar 3, o que daria 10.000 × 4 = 40.000.

Passo 2 — Subtrair o primeiro pagamento

Após o primeiro mês, Fábio paga R$ 3.000,00, o que reduz o saldo devedor. Precisamos do saldo restante para continuar o cálculo.

Por que esta fórmula: O saldo devedor após o pagamento é simplesmente o valor devido menos o valor pago.

S1=M1−P1S_1 = M_1 - P_1

De onde vem cada valor: M1M_1 = passo 1: R$ 10.300,00 · P1P_1 = enunciado: R$ 3.000,00

S1=10300−3000S_1 = 10300 - 3000

S1S_1 = R$ 7.300,00

NÃO CAIA NESSA!

Subtrair o pagamento antes de capitalizar os juros, o que daria 10.000 - 3.000 = 7.000 e depois aplicar juros, alterando o resultado.

Passo 3 — Calcular a dívida após o segundo mês

No segundo mês, o saldo devedor de R$ 7.300,00 cresce novamente 3% antes do segundo pagamento. Precisamos desse valor para subtrair o pagamento de R$ 4.000,00.

Por que esta fórmula: Novamente usamos a fórmula do montante composto, agora com o saldo do passo 2 como capital inicial.

M2=S1×(1+i)1M_2 = S_1 \times (1 + i)^{1}

De onde vem cada valor: S1S_1 = passo 2: R$ 7.300,00 · ii = enunciado: 0,03

M2=7300×(1+0,03)M_2 = 7300 \times (1 + 0{,}03)

M2M_2 = R$ 7.519,00

NÃO CAIA NESSA!

Usar o valor inicial de R$ 10.000,00 em vez do saldo atualizado, o que daria 10.300 e depois 10.300 - 4.000 = 6.300, errado.

Passo 4 — Subtrair o segundo pagamento

Após o segundo mês, Fábio paga R$ 4.000,00, reduzindo ainda mais a dívida. O saldo restante será a base para o último mês.

Por que esta fórmula: O saldo devedor é o valor devido menos o pagamento feito.

S2=M2−P2S_2 = M_2 - P_2

De onde vem cada valor: M2M_2 = passo 3: R$ 7.519,00 · P2P_2 = enunciado: R$ 4.000,00

S2=7519−4000S_2 = 7519 - 4000

S2S_2 = R$ 3.519,00

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair o pagamento e usar R$ 7.519,00 como saldo final, o que daria um terceiro pagamento maior.

Passo 5 — Calcular o valor do terceiro pagamento

No terceiro mês, o saldo devedor de R$ 3.519,00 cresce 3% e, como Fábio liquida a dívida, esse valor capitalizado é exatamente o terceiro pagamento.

Por que esta fórmula: Usamos a fórmula do montante composto para capitalizar o saldo por mais um mês, pois a dívida continua rendendo juros até o pagamento final.

P3=S2×(1+i)1P_3 = S_2 \times (1 + i)^{1}

De onde vem cada valor: S2S_2 = passo 4: R$ 3.519,00 · ii = enunciado: 0,03

P3=3519×(1+0,03)P_3 = 3519 \times (1 + 0{,}03)

P3P_3 = R$ 3.624,57

NÃO CAIA NESSA!

Não capitalizar o último saldo, usando R$ 3.519,00 diretamente como pagamento, o que daria a alternativa D.

Resposta: R$ 3.624,57 (alternativa E)

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