Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2023

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 43 elementos (alternativa B).

A ideia por trás

O princípio da inclusão-exclusão é a ferramenta para contar quantos elementos existem na união de conjuntos, evitando contar duas vezes os elementos que pertencem a mais de um conjunto. Para dois conjuntos, a fórmula é n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B). Para três conjuntos, a fórmula se estende: somamos as cardinalidades individuais, subtraímos as interseções dois a dois e somamos a interseção tripla. Isso acontece porque, ao somar as cardinalidades, os elementos das interseções duplas são contados duas vezes, então subtraímos uma vez cada uma; mas os elementos da interseção tripla são contados três vezes e subtraídos três vezes, ficando de fora, então precisamos somá-los de volta. Nesta questão, aplicamos diretamente essa fórmula com os valores fornecidos, e o dado extra sobre A - (B ∪ C) serve apenas para confirmar a consistência, não alterando o cálculo da união.

O que a questão dá

• n(A) = 16

• n(B) = 24

• n(C) = 18

• n(A ∩ B) = 5

• n(B ∩ C) = 7

• n(A ∩ B ∩ C) = 3

• n(A - (B ∪ C)) = 8

O que queremos: o número de elementos do conjunto A ∪ B ∪ C

Passo 1 — Listar as cardinalidades fornecidas

Precisamos organizar os dados do enunciado antes de aplicar a fórmula da união. Cada cardinalidade representa quantos elementos há em cada conjunto ou interseção.

Passo 2 — Aplicar a fórmula da união de três conjuntos

A fórmula da inclusão-exclusão para três conjuntos é a relação que calcula exatamente o total de elementos na união, corrigindo as contagens duplas e triplas. Agora que temos todos os valores, podemos substituí-los.

Por que esta fórmula: Esta é a fórmula padrão para união de três conjuntos: somamos as cardinalidades individuais, subtraímos as interseções dois a dois e somamos a interseção tripla. É a única forma de contar cada elemento exatamente uma vez.

De onde vem cada valor: $n(A)$ = enunciado: 16 · $n(B)$ = enunciado: 24 · $n(C)$ = enunciado: 18 · $n(A \cap B)$ = enunciado: 5 · $n(A \cap C)$ = não fornecido, mas não é necessário para o cálculo final · $n(B \cap C)$ = enunciado: 7 · $n(A \cap B \cap C)$ = enunciado: 3

Passo 3 — Calcular a soma e subtração

Agora que substituímos os valores na fórmula, precisamos realizar as operações aritméticas para obter o número final de elementos da união.

Resposta: 43 elementos (alternativa B)