GabaritoD — 91,5.
Gabarito: letra D — a conta chega a 91,5 — alternativa D.
A mediana é o valor que divide um conjunto ordenado ao meio: metade dos dados fica abaixo dela e metade acima. Quando a quantidade de elementos é par, não existe um termo central único — a mediana é a média aritmética dos dois termos do meio. Para achá-la, é preciso ordenar todos os números e localizar as posições centrais.
Para uma lista com n elementos, se n é par, os termos centrais ocupam as posições n/2 e n/2 + 1. A mediana é a média desses dois valores. Aqui n = 200, então precisamos do 100º e do 101º termos da lista ordenada. O desafio é descobrir quais números ocupam essas posições, já que a lista mistura números naturais e seus quadrados.
Esta questão exige descobrir quantos elementos da lista são menores ou iguais a um certo valor k. Para cada k, temos k números naturais (1 a k) e ⌊√k⌋ quadrados perfeitos (1² a ⌊√k⌋²). Somando esses dois, sabemos quantos termos vêm antes de k, e assim localizamos os termos centrais.
lista com 200 números: 1, 2, ..., 100 e 1², 2², ..., 100²
O que queremos: a mediana dessa lista de 200 números
Para achar o 100º e o 101º termos, precisamos saber quantos números da lista são menores que cada candidato. A lista tem duas partes: os números de 1 a 100 e os quadrados de 1² a 100². Para um valor k, os números naturais menores ou iguais a k são exatamente k (1, 2, ..., k). Os quadrados menores ou iguais a k são aqueles cuja base é menor ou igual a √k, ou seja, ⌊√k⌋ quadrados. Somando, temos a quantidade total de elementos até k.
Por que esta fórmula: Essa fórmula conta os elementos da lista que não passam de k: os k números naturais e os ⌊√k⌋ quadrados perfeitos. É a chave para localizar as posições centrais.
De onde vem cada valor: = definição: valor que estamos testando · = definição: quantidade de quadrados perfeitos menores ou iguais a k
Esquecer de contar os quadrados, achando que a lista tem apenas 100 números.
O 100º termo é o primeiro dos dois centrais. Precisamos encontrar o menor k tal que Q(k) seja pelo menos 100. Testamos valores próximos: para k = 90, Q(90) = 90 + 9 = 99, então o 100º termo ainda não é 90. Para k = 91, Q(91) = 91 + 9 = 100, então o 100º termo é 91.
Por que esta fórmula: Usamos a mesma fórmula Q(k) para testar candidatos. O valor de k que faz Q(k) = 100 é o 100º termo.
De onde vem cada valor: = definição: candidato testado · = definição: √91 ≈ 9,54, parte inteira 9
Parar em k = 90, pois Q(90) = 99, e concluir que o 100º termo é 90.
Como a lista tem 200 elementos, o segundo termo central é o 101º. Já sabemos que até 91 existem 100 números. O próximo número na ordem crescente é o 92 (o próximo natural) ou o 100 (10²), pois 9² = 81 < 91. O menor deles é 92, então o 101º termo é 92.
Por que esta fórmula: Não há fórmula: basta comparar o próximo natural (92) com o próximo quadrado (100) e escolher o menor.
Achar que o próximo é 100, esquecendo que 92 é menor.
Com os dois termos centrais em mãos, a mediana é a média aritmética deles, pois a lista tem número par de elementos.
Por que esta fórmula: Definição de mediana para lista par: média dos dois valores centrais.
De onde vem cada valor: = passo 2: 100º termo · = passo 3: 101º termo
Usar apenas 91 ou 92, sem fazer a média.
Resposta: 91,5 — alternativa D
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