Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2023

Probabilidade — Aproximação pela Distribuição Normal

Gabarito: letra B. A probabilidade de observar entre 35 e 65 acertos em 100 chutes, com taxa de acerto de 50%, é de aproximadamente 99,7%. Isso decorre da aproximação da distribuição binomial pela normal: com $n=100$ e $p=0,5$, a média é $\mu = 50$ e o desvio padrão é $\sigma = 5$. O intervalo de 35 a 65 corresponde a $\mu \pm 3\sigma$, e pela regra empírica (teorema de Chebyshev refinado para a normal), cerca de 99,7% dos dados estão a três desvios padrão da média.

A questão envolve uma variável aleatória binomial: cada chute é um ensaio de Bernoulli com probabilidade de sucesso $p = 0,5$ (acertar o gol). O número de acertos em $n = 100$ chutes segue uma distribuição binomial com parâmetros $n = 100$ e $p = 0,5$. Para $n$ grande, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma distribuição normal com mesma média e variância. A média é $\mu = n \cdot p = 100 \times 0,5 = 50$ e a variância é $\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) = 100 \times 0,5 \times 0,5 = 25$, logo o desvio padrão é $\sigma = \sqrt{25} = 5$.

O intervalo pedido, de 35 a 65 acertos, está centrado na média 50 e se estende por 15 unidades para cada lado, ou seja, $50 - 15 = 35$ e $50 + 15 = 65$. Como $15 = 3 \times 5$, esse intervalo corresponde a $\mu \pm 3\sigma$. Para uma distribuição normal, a probabilidade de uma observação cair dentro de três desvios padrão da média é de aproximadamente 99,7%. Essa é a chamada regra empírica (ou regra 68-95-99,7), que também vale como aproximação para a binomial quando $n$ é grande e $p$ não é extremo.

A pegadinha da banca está em confundir os intervalos de 1, 2 e 3 desvios padrão. Muitos candidatos lembram que 95% corresponde a dois desvios ($\mu \pm 2\sigma$), que aqui seria o intervalo de 40 a 60, e marcam a letra D. Outros podem pensar em 68% (um desvio, intervalo de 45 a 55). A questão pede explicitamente o intervalo de 35 a 65, que são exatamente três desvios padrão, e a probabilidade associada é 99,7%.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade é menor que 95%. Isso estaria correto se o intervalo fosse menor, como $\mu \pm 2\sigma$ (40 a 60), que tem probabilidade de 95%. Mas o intervalo de 35 a 65 é mais amplo ($\mu \pm 3\sigma$), portanto a probabilidade é maior que 95%, aproximadamente 99,7%.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O intervalo de 35 a 65 acertos corresponde a $\mu \pm 3\sigma$, pois $\mu = 50$ e $\sigma = 5$. Pela regra empírica da distribuição normal, a probabilidade de uma observação estar a três desvios padrão da média é de aproximadamente 99,7%. Como a binomial com $n=100$ e $p=0,5$ é bem aproximada pela normal, essa é a probabilidade pedida.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade é menor que 0,1%. Isso seria plausível para um intervalo muito estreito ou distante da média, mas o intervalo de 35 a 65 está centrado na média e é bastante amplo (30 unidades de largura, ou seja, 6 desvios padrão no total). A probabilidade é altíssima, próxima de 100%, não desprezível.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade é igual a 95%. Esse valor corresponde ao intervalo de $\mu \pm 2\sigma$, que seria de 40 a 60 acertos. Como o intervalo pedido é de 35 a 65 ($\mu \pm 3\sigma$), a probabilidade é maior, aproximadamente 99,7%.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade é menor que 0,3%. Esse valor corresponderia à cauda da distribuição além de três desvios padrão (menos de 35 ou mais de 65 acertos), que é de aproximadamente 0,3% no total. Mas a questão pede a probabilidade de estar DENTRO do intervalo, que é o complemento, ou seja, aproximadamente 99,7%.

Gabarito: letra B.