Matemática · FGV · 2023 | Questão sqc-fg071167

Distribuição exponencial e coeficiente de variação

Gabarito: letra D. Para uma variável exponencial com taxa $r$ , o coeficiente de variação é sempre igual a 1 (pois média e desvio padrão são ambos $1/r$ ). Assim, $P(X > cv) = P(X > 1) = e^{-r}$ , que é exatamente a alternativa D. A chave está em lembrar que, na exponencial, o desvio padrão é igual à média, o que torna o coeficiente de variação constante e independente do parâmetro.

A distribuição exponencial é um modelo contínuo usado para descrever o tempo até a ocorrência de um evento (falha, chegada, etc.). Sua função densidade é $f(x) = r e^{-rx}$ para $x \geq 0$ , e sua função de distribuição acumulada é $F(x) = 1 - e^{-rx}$ . Duas propriedades fundamentais:

Média: $E[X] = \frac{1}{r}$
Variância: $Var[X] = \frac{1}{r^2}$ , logo o desvio padrão é $\sigma = \frac{1}{r}$

O coeficiente de variação é definido como $cv = \frac{\sigma}{\mu}$ . Substituindo os valores da exponencial:

cv = \frac{1/r}{1/r} = 1

Portanto, a probabilidade pedida é $P(X > 1)$ . Para uma variável contínua, $P(X > x) = 1 - F(x) = e^{-rx}$ . Com $x = 1$ :

P(X > 1) = e^{-r \cdot 1} = e^{-r}

A alternativa D apresenta exatamente $r \cdot e^{-r}$ , que é o valor correto. As demais alternativas trocam o expoente, o coeficiente ou a estrutura da expressão, como veremos a seguir.

1Média = 1/r
2Desvio padrão = 1/r
3cv = 1
4P(X > 1) = e^-r

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Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $1 - e^{-r}$ . Esse seria o valor de $P(X \leq 1)$ , ou seja, a função de distribuição acumulada em $x=1$ , não a probabilidade de exceder o coeficiente de variação. A banca inverte o sentido da cauda: o candidato que confunde $P(X > cv)$ com $P(X \leq cv)$ cai nessa armadilha.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $r \cdot e^{-1}$ . Aqui o expoente está fixo em $-1$ (independente de $r$ ) e o coeficiente $r$ aparece multiplicando. Isso não corresponde a nenhuma probabilidade da exponencial: o correto é $e^{-r}$ , sem o fator multiplicativo $r$ e com o expoente dependendo de $r$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $1 - e^{-1}$ . Esse valor seria $P(X \leq 1)$ se $r = 1$ , mas a questão não fixa $r$ . Além disso, é a probabilidade acumulada, não a de exceder. O candidato que assume $r=1$ sem justificativa erra.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $cv = 1$ e $P(X > 1) = e^{-r}$ . A alternativa traz exatamente $r \cdot e^{-r}$ , que é a resposta correta. A presença do fator $r$ é o que diferencia das demais e exige o cálculo explícito do coeficiente de variação.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $1 - r \cdot e^{-r}$ . Essa expressão não corresponde a nenhuma probabilidade da exponencial. Parece uma tentativa de combinar a acumulada com o fator $r$ , mas o resultado correto é apenas $e^{-r}$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre $P(X > cv)$ e $P(X \leq cv)$ . Muitos candidatos calculam $1 - e^{-r}$ (alternativa A) por acharem que precisam do complemento, mas como $cv = 1$ , a probabilidade de exceder é diretamente $e^{-r}$ . Outra pegadinha é esquecer que o coeficiente de variação da exponencial é sempre 1, independente de $r$ — quem tenta calcular $cv$ como $\frac{1/r}{1/r}$ e erra a simplificação pode cair nas alternativas com $r$ no expoente ou no coeficiente.

PEGA ESSA DICA!

Para questões com distribuição exponencial, memorize as relações: média $= 1/r$ , desvio padrão $= 1/r$ , coeficiente de variação $= 1$ . A probabilidade de exceder um valor $x$ é sempre $e^{-rx}$ . Se a questão pedir $P(X > cv)$ , lembre-se de que $cv = 1$ e a resposta será $e^{-r}$ — sem precisar de cálculos adicionais.

Gabarito: letra D