Estatística · FGV · 2023 | Questão sqc-fg071170

GabaritoE — a esperança de X_b é t e Pr (X_b <= t - 1/6) é aproximadamente 2,5%.

Distribuição amostral da média e Teorema Central do Limite

Gabarito: letra E. A esperança da média amostral é $E(\bar{X}) = t$ (a média da distribuição uniforme é o ponto médio do intervalo) e, pelo Teorema Central do Limite, $\bar{X}$ é aproximadamente normal com desvio padrão $\sigma_{\bar{X}} = \frac{1}{\sqrt{12} \cdot \sqrt{12}} = \frac{1}{12}$ . Assim, $\Pr(\bar{X} \leq t - 1/6) = \Pr(Z \leq -2) \approx 2,5\%$ , exatamente o que a alternativa E afirma.

A questão combina dois conceitos: a distribuição uniforme e a distribuição amostral da média. Vamos por partes.

1. A distribuição uniforme e seus parâmetros.

Uma variável aleatória $X$ com distribuição uniforme contínua no intervalo $[a, b]$ tem função densidade de probabilidade constante $f(x) = \frac{1}{b-a}$ nesse intervalo. A média (esperança) é o ponto médio:

E(X) = \frac{a+b}{2}

E a variância é:

Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}

No nosso caso, $a = t - \frac{1}{2}$ e $b = t + \frac{1}{2}$ . Portanto:

E(X) = \frac{(t - 1/2) + (t + 1/2)}{2} = \frac{2t}{2} = t

Var(X) = \frac{[(t + 1/2) - (t - 1/2)]^2}{12} = \frac{(1)^2}{12} = \frac{1}{12}

2. A distribuição amostral da média.

Para uma amostra aleatória simples de tamanho $n$ , a média amostral $\bar{X}$ tem:

Esperança: $E(\bar{X}) = E(X) = t$
Variância: $Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{1/12}{12} = \frac{1}{144}$
Desvio padrão (erro padrão): $\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{\frac{1}{144}} = \frac{1}{12}$

3. O Teorema Central do Limite (TCL).

Como a amostra tem tamanho $n = 12$ (razoavelmente grande) e a distribuição original é uniforme (que não é muito assimétrica), o TCL garante que a distribuição de $\bar{X}$ é aproximadamente normal. Padronizando:

Z = \frac{\bar{X} - E(\bar{X})}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{\bar{X} - t}{1/12}

4. Calculando a probabilidade.

Queremos $\Pr(\bar{X} \leq t - 1/6)$ . Padronizando:

\Pr\left(\frac{\bar{X} - t}{1/12} \leq \frac{t - 1/6 - t}{1/12}\right) = \Pr\left(Z \leq \frac{-1/6}{1/12}\right) = \Pr(Z \leq -2)

Pela tabela da distribuição normal padrão, $\Pr(Z \leq -2) \approx 0,0228$ , ou seja, aproximadamente $2,5\%$ .

Portanto, a alternativa E está correta: a esperança de $\bar{X}$ é $t$ e $\Pr(\bar{X} \leq t - 1/6) \approx 2,5\%$ .

Caso	Esperança de $\bar{X}$	Probabilidade calculada	Resultado
A	(t) (correta)	$\Pr(\bar{X} < t - 1/6) \approx 2,5\%$ , não 95%	Incorreta
B	(t/2) (errada)	$\Pr(\bar{X} > t + 1/6) \approx 2,5\%$ , não 95%	Incorreta
C	(t/2) (errada)	$\Pr(\bar{X} \leq t - 1/6) \approx 2,5\%$ , não 97%	Incorreta
D	(t/4) (errada)	$\Pr(\bar{X} > t + 1/6) \approx 2,5\%$ (correta, mas esperança errada)	Incorreta
E	(t) (correta)	$\Pr(\bar{X} \leq t - 1/6) \approx 2,5\%$ (correta)	Correta (gabarito)

1E(X) = t
2Var(X) = 1/12
3Var(X̄) = 1/144
4σ(X̄) = 1/12
5Z = -2 → 2,5%

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Alternativa A — ❌ Incorreta

A esperança está correta ( $t$ ), mas a probabilidade está errada. $\Pr(\bar{X} < t - 1/6) = \Pr(Z < -2) \approx 2,5\%$ , não 95%. O valor 95% corresponderia a $\Pr(Z < 1,645)$ , ou seja, $\bar{X} < t + 1/6 \times 1,645 \approx t + 0,137$ , não $t - 1/6$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

A esperança está errada: $E(\bar{X}) = t$ , não $t/2$ . Além disso, a probabilidade $\Pr(\bar{X} > t + 1/6) = \Pr(Z > 2) \approx 2,5\%$ , não 95%. O valor 95% seria para $\Pr(\bar{X} < t + 0,137)$ , não para $\bar{X} > t + 1/6$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

A esperança está errada ( $t/2$ em vez de $t$ ). A probabilidade $\Pr(\bar{X} \leq t - 1/6) \approx 2,5\%$ , não 97%. O valor 97% corresponderia a $\Pr(Z < 1,88)$ , ou seja, $\bar{X} < t + 0,157$ , não $t - 1/6$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

A esperança está errada: $E(\bar{X}) = t$ , não $t/4$ . A probabilidade $\Pr(\bar{X} > t + 1/6) \approx 2,5\%$ está correta, mas como a esperança está errada, a alternativa como um todo é falsa.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A esperança $E(\bar{X}) = t$ está correta (média da distribuição uniforme). A probabilidade $\Pr(\bar{X} \leq t - 1/6) = \Pr(Z \leq -2) \approx 2,5\%$ também está correta, como calculado acima.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o desvio padrão da população ( $\sigma = \sqrt{1/12} \approx 0,289$ ) e o erro padrão da média ( $\sigma_{\bar{X}} = \sigma/\sqrt{n} = 1/12 \approx 0,083$ ). Quem usa $\sigma$ no lugar de $\sigma_{\bar{X}}$ encontra $\Pr(\bar{X} \leq t - 1/6) = \Pr(Z \leq -0,577) \approx 28\%$ , que não aparece nas alternativas — mas a banca ainda testa se você lembra de dividir por $\sqrt{n}$ .

PEGA ESSA DICA!

Para questões de distribuição amostral, monte o passo a passo: (1) calcule $E(X)$ e $Var(X)$ da população; (2) divida a variância por $n$ para obter $Var(\bar{X})$ ; (3) padronize com $Z = (\bar{X} - E(\bar{X}))/\sigma_{\bar{X}}$ ; (4) consulte a tabela normal. Esse roteiro resolve a maioria das questões de TCL.

Gabarito: letra E.