Estatística · FGV · 2023 | Questão sqc-fg071171

Sobredispersão em dados de contagem e a razão variância/média

Gabarito: letra A. A razão R entre a variância observada (19,34) e a variância esperada sob o modelo Poisson (que é igual à média, 9,6) é R = 19,34 / 9,6 ≈ 2,01, portanto R > 2, indicando sobredispersão. A propriedade central da distribuição de Poisson é que a média é igual à variância (equidispersão); quando a variância observada é maior que a média, há sobredispersão.

A distribuição de Poisson é um modelo probabilístico para dados de contagem, caracterizado por um único parâmetro λ (a taxa média de ocorrência). Uma propriedade fundamental dessa distribuição é que a média e a variância são iguais a λ. Quando os dados observados apresentam variância maior que a média, dizemos que há sobredispersão (overdispersion), o que indica que o modelo Poisson não é adequado — frequentemente, recorre-se à distribuição binomial negativa ou a modelos com parâmetro de dispersão.

Nesta questão, precisamos calcular a média dos dados e comparar a variância observada com a variância esperada sob Poisson. A variância esperada sob Poisson é igual à média dos dados, pois na Poisson a variância é igual à média. Assim, a razão R é dada por:

R = \frac{\text{variância observada}}{\text{variância esperada sob Poisson}} = \frac{s^2}{\bar{x}}

Calculando a média dos dados: 3, 2, 8, 3, 12, 11, 17, 11, 15, 14. A soma é 96, e n = 10, logo a média é 9,6. A variância observada foi fornecida: 19,34. Portanto:

R = \frac{19,34}{9,6} \approx 2,0146

Como R > 2, e o valor é maior que 1, isso indica sobredispersão. A alternativa A afirma exatamente isso: "R > 2, indicando sobredispersão".

Caso	R (variância/média)	Interpretação
Poisson ideal	R = 1	Equidispersão
Sobredispersão	R > 1	Variância > média
Subdispersão	R < 1	Variância < média
Dados da questão	R ≈ 2,01	Sobredispersão (R > 2)

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa A está correta porque R ≈ 2,01, que é maior que 2, e a sobredispersão é caracterizada por variância maior que a média, ou seja, R > 1. Como R > 2, a condição de sobredispersão é claramente satisfeita.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B afirma "R > 1/2, sem indicação de sobredispersão". Isso é contraditório: se R > 1/2, não se pode concluir ausência de sobredispersão, pois a sobredispersão ocorre quando R > 1. Além disso, o valor calculado é R ≈ 2,01, que é maior que 1/2, mas isso não significa ausência de sobredispersão. O erro está em associar R > 1/2 com ausência de sobredispersão.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C afirma "R < 1/2, indicando sobredispersão". Isso está duplamente errado: primeiro, R ≈ 2,01, que não é menor que 1/2; segundo, sobredispersão é indicada por R > 1, não por R < 1/2. Na verdade, R < 1 indicaria subdispersão (variância menor que a média).

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D afirma "R > 2, sem indicação de sobredispersão". Embora R > 2 seja verdadeiro, a conclusão "sem indicação de sobredispersão" é falsa, pois R > 1 indica sobredispersão. O erro está na conclusão.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E afirma "R < 1/2, sem indicação de sobredispersão". Isso é falso porque R ≈ 2,01, que não é menor que 1/2. Além disso, mesmo que R fosse menor que 1/2, isso indicaria subdispersão, não ausência de sobredispersão.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o valor de R e a interpretação. Muitos candidatos podem calcular R ≈ 2 e, por associação automática, marcar a alternativa que diz "R > 2, sem indicação de sobredispersão" (letra D), esquecendo que sobredispersão é justamente variância maior que a média (R > 1). Lembre-se: na Poisson, média = variância, então R = 1 indica equidispersão; R > 1 indica sobredispersão; R < 1 indica subdispersão.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de sobredispersão, sempre calcule a razão R = variância/média. Se R > 1, há sobredispersão; se R < 1, subdispersão; se R ≈ 1, equidispersão. Memorize essa regra e você não errará mais.

Gabarito: letra A