Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2023

Transformação linear de variável normal: Y = 2(X − 2)

Gabarito: letra D. A transformação $Y = 2(X - 2)$ é uma combinação linear de $X$, que é normal com média 2 e variância 1. Pela propriedade de que combinações lineares de variáveis normais permanecem normais, $Y$ também é normal, com média $E(Y) = 2(E(X) - 2) = 2(2 - 2) = 0$ e variância $Var(Y) = 2^2 \cdot Var(X) = 4 \cdot 1 = 4$, ou seja, desvio padrão $\sigma_Y = 2$. Assim, $Y \sim N(0, 4)$. O intervalo $[-2, 2]$ corresponde a $\mu \pm 1\sigma$, e pela regra empírica da distribuição normal, aproximadamente 68% da massa está nesse intervalo. Portanto, $P(-2 \le Y \le 2) \approx 68\%$.

A questão explora a regra empírica (ou regra 68-95-99,7) da distribuição normal: cerca de 68% dos dados estão a um desvio padrão da média, 95% a dois desvios e 99,7% a três desvios. O ponto central é padronizar a variável transformada para identificar quantos desvios padrão o intervalo representa. Como $Y$ tem média 0 e desvio 2, o intervalo $[-2, 2]$ é exatamente $\mu \pm 1\sigma$. Já o intervalo $[-1/2, 1/2]$ corresponde a $\pm 0,25\sigma$ (muito estreito, probabilidade bem menor que 68%), e $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ corresponde a $\pm \sqrt{2}/2 \approx \pm 0,707\sigma$ (probabilidade em torno de 52%, não 68%).

A pegadinha da banca está em confundir o desvio padrão de $Y$ com o de $X$: como $Var(X) = 1$, muitos candidatos assumem que $\sigma_Y = 1$ e marcam a alternativa C ($P(-2 \le Y \le 2) = 95\%$), que seria correta se $Y$ tivesse desvio 1 (intervalo de $\pm 2\sigma$). Mas a multiplicação por 2 quadruplica a variância, e o desvio passa a ser 2. Por isso o intervalo de $\pm 2$ em $Y$ é apenas $\pm 1\sigma$, e a probabilidade é 68%.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $P(-1/2 \le Y \le 1/2) = 95\%$. O intervalo $[-1/2, 1/2]$ corresponde a $\pm 0,25$ desvios padrão de $Y$ (pois $\sigma_Y = 2$). A probabilidade de uma normal padrão estar entre $-0,25$ e $0,25$ é aproximadamente 19,7% — muito menor que 95%. O valor 95% seria correto para um intervalo de $\pm 2\sigma$, que aqui seria $[-4, 4]$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $P(-1/2 \le Y \le 1/2) = 68\%$. O intervalo de $\pm 1\sigma$ em $Y$ é $[-2, 2]$, não $[-1/2, 1/2]$. O intervalo $[-1/2, 1/2]$ é de apenas $\pm 0,25\sigma$, com probabilidade em torno de 19,7%. A alternativa confunde o intervalo de $\pm 1\sigma$ com um intervalo arbitrário de amplitude 1.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $P(-2 \le Y \le 2) = 95\%$. O intervalo $[-2, 2]$ é $\mu \pm 1\sigma$ (pois $\sigma_Y = 2$), e a probabilidade é 68%, não 95%. O valor 95% corresponderia a $\pm 2\sigma$, que seria $[-4, 4]$. A banca troca o número de desvios: usa 1 desvio onde deveria usar 2.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como $Y \sim N(0, 4)$, o intervalo $[-2, 2]$ é exatamente $\mu \pm 1\sigma$. Pela regra empírica, $P(\mu - \sigma \le Y \le \mu + \sigma) \approx 68\%$. Portanto, $P(-2 \le Y \le 2) \approx 68\%$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $P(-\sqrt{2} \le Y \le \sqrt{2}) = 68\%$. O intervalo $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ corresponde a $\pm \sqrt{2}/2 \approx \pm 0,707$ desvios padrão de $Y$. A probabilidade de uma normal padrão estar entre $-0,707$ e $0,707$ é aproximadamente 52%, não 68%. O valor 68% só vale para $\pm 1\sigma$, que é $[-2, 2]$.

Gabarito: letra D.