Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — FGV 2023

Distribuição de Poisson: probabilidade de zero ocorrências em múltiplos intervalos

Gabarito: letra A. A probabilidade de não observar nenhuma venda em cinco horas é $e^{-5v}$, pois, se o número de vendas por hora segue Poisson com taxa $v$, o número de vendas em cinco horas segue Poisson com taxa $5v$ (propriedade de reprodutividade/soma de Poisson independentes), e a probabilidade de $X=0$ nessa distribuição é $e^{-5v}$.

A distribuição de Poisson modela a contagem de eventos raros em um intervalo fixo (tempo, área, volume). Sua função de probabilidade é:

onde $\lambda$ é o número médio de ocorrências no intervalo considerado. No enunciado, a taxa é $v$ vendas por hora. Como as vendas em cada hora são independentes, o número total de vendas em cinco horas é a soma de cinco variáveis de Poisson independentes com parâmetro $v$ cada — e a soma de Poisson independentes também é Poisson, com parâmetro igual à soma dos parâmetros, ou seja, $\lambda = 5v$.

Queremos $P(X = 0)$ com $\lambda = 5v$. Substituindo $k=0$ na fórmula:

A pegadinha clássica aqui é esquecer de multiplicar a taxa pelo número de horas — usar $\lambda = v$ em vez de $\lambda = 5v$ — ou confundir a probabilidade de zero com a probabilidade de pelo menos uma venda, que seria o complemento $1 - e^{-5v}$.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

É exatamente o resultado obtido: $e^{-5v}$. A taxa para o intervalo de cinco horas é $5v$, e a probabilidade de zero ocorrências é $e^{-5v}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$1 - e^{-5v}$ é a probabilidade de pelo menos uma venda em cinco horas (o complementar de nenhuma venda). A banca troca o evento pedido: em vez de $P(X=0)$, apresenta $P(X \geq 1) = 1 - P(X=0)$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$1 - e^{-5/v}$ não corresponde a nenhuma probabilidade da Poisson. O erro está em inverter a taxa: colocar $5/v$ no expoente em vez de $5v$. Não há base teórica para essa expressão.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$e^{-5/v}$ também não é uma probabilidade válida da Poisson. Novamente, o expoente deveria ser $5v$ (taxa vezes tempo), não $5/v$. Além disso, se $v$ for pequeno, $5/v$ pode ser grande, mas a estrutura da expressão está errada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$1 - e^{-\sqrt{5v}}$ mistura duas confusões: usa o complemento (como na B) e aplica raiz quadrada ao parâmetro, o que não tem relação com a distribuição de Poisson. A taxa acumulada é linear no tempo: $\lambda = 5v$, não $\sqrt{5v}$.

Gabarito: letra A.