Estatística · FGV · 2023 | Questão sqc-fg071314

EstatísticaCovariância, Correlação

Código: fg071314
Banca: FGV
Órgão: TCE-ES
Ano: 2023
Nível: Superior

Cargo: Auditor de Controle Externo - Estatística

Uma corretora quer saber a relação entre o tamanho de uma casa (em metros quadrados) e seu preço.Para isso, coletou uma amostra de 15 pares de metragens e preços de imóveis.O analista encarregado da análise decidiu ajustar uma regressão linear simples: preço = b_0 + b_1*metragem + ruído.Depois, para melhorar a interpretabilidade dos resultados, o analista centrou a variável independente (ou covariável), isto é, subtraiu a média das metragens de cada valor observado, e reajustou o modelo.A corretora agora deseja saber como seriam os resultados se esse procedimento de centrar a covariável não tivesse sido feito.Sobre as estimativas dos parâmetros, é correto afirmar que, quando centramos a covariável:

Aa estimativa pontual de b_0 não se altera, e o intervalo para b_1 fica mais largo;
Ba estimativa pontual de b_1 não se altera, e o intervalo para b_0 fica mais largo;
Ca estimativa pontual de b_0 não se altera, e o intervalo para b_1 fica mais curto;
Da estimativa pontual de b_1 não se altera, e o intervalo para b_0 fica mais curto;
Ea estimativa pontual de b_0 não se altera, e o intervalo para b_1 permanece o mesmo.

Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — a estimativa pontual de b_1 não se altera, e o intervalo para b_0 fica mais curto;

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Regressão Linear Simples: Efeito da Centralização da Covariável

Gabarito: letra D. Quando centramos a covariável (subtraímos sua média), a estimativa pontual do coeficiente angular $b_1$ não se altera, pois a inclinação da reta depende apenas da covariância entre $X$ e $Y$ e da variância de $X$ , que são invariantes à translação. Já a estimativa do intercepto $b_0$ muda (passa a ser $\bar{Y}$ ), e seu intervalo de confiança fica mais curto, porque a variância do estimador de $b_0$ é reduzida quando a covariável é centrada.

A centralização de uma variável independente é uma transformação linear do tipo $X_c = X - \bar{X}$ . Essa operação desloca todos os pontos da variável $X$ para que sua média seja zero, mas não altera a dispersão (variância) nem a covariância com a variável resposta $Y$ . Como o coeficiente angular na regressão linear simples é dado por $b_1 = \frac{Cov(X,Y)}{Var(X)}$ , ele permanece idêntico. O intercepto, por sua vez, é calculado como $b_0 = \bar{Y} - b_1 \bar{X}$ ; ao centrar $X$ , o termo $b_1 \bar{X}$ se anula, e o intercepto passa a ser simplesmente $\bar{Y}$ — ou seja, o valor muda (a menos que $\bar{X}=0$ ).

A pegadinha da banca está justamente em inverter os efeitos: muitos candidatos lembram que $b_1$ não muda, mas erram ao afirmar que $b_0$ também não muda, ou que o intervalo de $b_0$ fica mais largo. Na verdade, a centralização reduz a variância do estimador do intercepto, tornando seu intervalo de confiança mais curto. Isso ocorre porque a variância de $\hat{b}_0$ é proporcional a $\frac{1}{n} + \frac{\bar{X}^2}{\sum (X_i - \bar{X})^2}$ ; ao centrar, $\bar{X}=0$ , eliminando o segundo termo e diminuindo a variância.

b₀ (intercepto)

b₁ (inclinação)

Intervalo de confiança

[-] Muda (vira Ȳ)

[+] Não muda

Estimativa pontual

[+] Fica mais curto

[+] Não muda

LEVEL · soulevel.com.br

Critério	Modelo Original (X)	Modelo Centrado (X_c = X − X̄)
Estimativa pontual de b₁ (inclinação)	b₁ = Cov(X,Y)/Var(X)	Não se altera (Cov e Var são invariantes à translação)
Estimativa pontual de b₀ (intercepto)	b₀ = Ȳ − b₁·X̄	Muda → passa a ser Ȳ (pois X̄_c = 0)
Variância do estimador de b₀	σ²·[1/n + X̄²/Σ(Xᵢ−X̄)²]	Reduz (elimina o termo X̄²) → intervalo mais curto
Variância do estimador de b₁	σ²/Σ(Xᵢ−X̄)²	Não se altera → intervalo permanece o mesmo

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a estimativa de $b_0$ não se altera e que o intervalo de $b_1$ fica mais largo. Erro duplo: (1) $b_0$ muda ao centrar (passa a ser $\bar{Y}$ ); (2) o intervalo de $b_1$ não se altera, pois $b_1$ e sua variância são invariantes à translação.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Acerta ao dizer que $b_1$ não se altera, mas erra ao afirmar que o intervalo de $b_0$ fica mais largo. Na verdade, a centralização reduz a variância de $\hat{b}_0$ , tornando o intervalo mais curto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Erra ao afirmar que $b_0$ não se altera. O intercepto muda com a centralização (vira $\bar{Y}$ ). A segunda parte (intervalo de $b_1$ mais curto) também está errada: o intervalo de $b_1$ permanece o mesmo.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A estimativa pontual de $b_1$ não se altera (a inclinação depende de covariância e variância, invariantes à translação). O intervalo de $b_0$ fica mais curto, pois a variância de $\hat{b}_0$ diminui quando $\bar{X}=0$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

Erra ao afirmar que $b_0$ não se altera. O intercepto muda com a centralização. A segunda parte (intervalo de $b_1$ permanece o mesmo) está correta, mas a primeira invalida a alternativa.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre os efeitos da centralização sobre $b_0$ e $b_1$ . Muitos candidatos sabem que $b_1$ não muda, mas esquecem que $b_0$ muda e que seu intervalo encurta. Lembre-se: centrar a covariável é uma translação — ela não afeta a inclinação, mas redefine o intercepto como a média de $Y$ , reduzindo sua incerteza.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver rápido, lembre-se das fórmulas: $b_1 = \frac{Cov(X,Y)}{Var(X)}$ (invariante à translação) e $b_0 = \bar{Y} - b_1\bar{X}$ (muda com a centralização). A variância de $\hat{b}_0$ é $\sigma^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{\bar{X}^2}{\sum (X_i-\bar{X})^2}\right)$ — ao centrar, o segundo termo some, encurtando o intervalo.

Gabarito: letra D

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