Estatística · FGV · 2023 | Questão sqc-fg071315

Intervalo de confiança para proporção: estimativa pontual e tamanho amostral

Gabarito: letra B. O intervalo de confiança de 68% para a proporção p é (0,34; 0,66). Como o intervalo é simétrico em torno da estimativa pontual, a estimativa pontual é o ponto médio: (0,34 + 0,66)/2 = 0,50. O tamanho amostral é obtido da amplitude do intervalo: para um nível de confiança de 68%, o valor crítico é z = 1 (aproximadamente), e a margem de erro é 0,16. Assim, 0,16 = 1 × √(0,5 × 0,5 / m), o que resulta em m = 10. Portanto, a estimativa pontual é 0,5 e foram observadas 10 amostras.

O intervalo de confiança para uma proporção populacional p, baseado na distribuição normal (aproximação válida para amostras grandes), é dado por:

\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{m}}

onde $\hat{p}$ é a estimativa pontual (proporção amostral), $z_{\alpha/2}$ é o valor crítico da normal padrão para o nível de confiança desejado, e $m$ é o tamanho da amostra. Para um nível de confiança de 68%, o valor crítico é $z_{\alpha/2} \approx 1$ (pois a área entre -1 e 1 na normal padrão é aproximadamente 0,68).

A estimativa pontual é o centro do intervalo, pois o intervalo é construído como estimativa ± margem de erro. Assim, $\hat{p} = (0,34 + 0,66)/2 = 0,50$ .

A margem de erro é a metade da amplitude: $E = (0,66 - 0,34)/2 = 0,16$ . Substituindo na fórmula:

0,16 = 1 \times \sqrt{\frac{0,5 \times 0,5}{m}}

Elevando ao quadrado:

0,0256 = \frac{0,25}{m}

m = \frac{0,25}{0,0256} = 9,765625 \approx 10

Portanto, o tamanho amostral é 10.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A estimativa pontual 0,25 não é o ponto médio do intervalo (0,34; 0,66). O ponto médio é 0,50. O valor 0,25 poderia ser confundido com a margem de erro (0,16) ou com algum outro valor, mas não é a estimativa pontual.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A estimativa pontual é 0,50, pois é o centro do intervalo. O tamanho amostral é 10, conforme o cálculo acima. A alternativa combina corretamente os dois valores.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A estimativa pontual 0,50 está correta, mas o tamanho amostral 100 não é compatível com a margem de erro observada. Com m = 100, a margem de erro seria $1 \times \sqrt{0,5 \times 0,5 / 100} = 0,05$ , resultando em um intervalo de (0,45; 0,55), não (0,34; 0,66).

Alternativa D — ❌ Incorreta

A estimativa pontual 0,75 não é o ponto médio do intervalo. O valor 0,75 poderia ser confundido com o limite superior do intervalo (0,66) ou com algum outro valor, mas não é a estimativa pontual.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A estimativa pontual 0,75 está incorreta, e o tamanho amostral 100 também não é compatível com a margem de erro observada, como explicado na alternativa C.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a estimativa pontual e os limites do intervalo, e entre a margem de erro e o tamanho amostral. O candidato pode achar que a estimativa é um dos extremos (0,34 ou 0,66) ou que o tamanho amostral é 100 por ser um número "redondo". Lembre-se: a estimativa pontual é sempre o centro do intervalo, e o tamanho amostral é obtido pela fórmula da margem de erro.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de intervalo de confiança para proporção, sempre calcule a estimativa pontual como o ponto médio do intervalo. Depois, use a margem de erro (metade da amplitude) e o valor crítico para encontrar o tamanho amostral. Treine com diferentes níveis de confiança (68%, 90%, 95%, 99%) e seus respectivos valores críticos (1, 1,645, 1,96, 2,576).

Gabarito: letra B.