Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2023

Distribuição de Poisson: probabilidade de exceder a média

Gabarito: letra A. Para uma variável Poisson com parâmetro $\lambda = 2$, a média é $E(X) = \lambda = 2$. A probabilidade de $X$ exceder a média é $P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$. Calculando cada termo com a função de probabilidade $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$, obtemos $P(X>2) = 1 - 5e^{-2}$, que corresponde à alternativa A.

A distribuição de Poisson modela o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando os eventos ocorrem de forma independente e a uma taxa média constante. O parâmetro $\lambda$ (também denotado por $w$ ou $\mu$) representa tanto a média quanto a variância da distribuição. A função de probabilidade é dada por:

Nesta questão, $\lambda = 2$, logo a média é $\mu = 2$. O evento "exceder a média" significa $X > 2$, ou seja, $X$ assume valores 3, 4, 5, ... . Para calcular essa probabilidade, usamos o complemento: $P(X > 2) = 1 - P(X \le 2)$. Como $X$ é discreta, $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$.

Calculando cada termo:

• $P(X=0) = \frac{e^{-2} \cdot 2^0}{0!} = e^{-2}$

• $P(X=1) = \frac{e^{-2} \cdot 2^1}{1!} = 2e^{-2}$

• $P(X=2) = \frac{e^{-2} \cdot 2^2}{2!} = \frac{4e^{-2}}{2} = 2e^{-2}$

Somando: $P(X \le 2) = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2}$.

Portanto, $P(X > 2) = 1 - 5e^{-2}$.

A pegadinha da banca está em confundir "exceder a média" com "ser maior ou igual à média". Se o candidato calcular $P(X \ge 2)$, obteria $1 - P(X \le 1) = 1 - 3e^{-2}$, que não aparece nas alternativas. Outra armadilha é trocar o parâmetro $\lambda$ por outro valor, como $0,5$, que aparece nas alternativas D e E, mas não corresponde ao enunciado.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $P(X > 2) = 1 - 5e^{-2}$. A alternativa reproduz exatamente o resultado do cálculo, utilizando o complemento da probabilidade acumulada até 2.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $1 + 5e^{-2}$, que é maior que 1, impossível para uma probabilidade. O sinal de mais é um erro claro: a probabilidade complementar deve subtrair a soma das probabilidades, não somar.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta apenas $5e^{-2}$, que é exatamente $P(X \le 2)$, ou seja, a probabilidade de $X$ ser menor ou igual à média, não de excedê-la. O candidato que esquece de subtrair de 1 cai nessa alternativa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Usa $e^{-0,5}$ no lugar de $e^{-2}$. Isso ocorre quando se confunde o parâmetro $\lambda = 2$ com $\lambda = 0,5$, talvez por uma leitura equivocada do enunciado. O valor correto é $e^{-2}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $5e^{-0,5}$, combinando dois erros: o expoente errado ($-0,5$ em vez de $-2$) e a ausência do complemento $1 -$. É a alternativa que acumula as duas pegadinhas.

Gabarito: letra A