Questão de Estatística — Modelos lineares — FGV 2023

Variância residual em regressão linear simples

Gabarito: letra C. A variância residual do modelo é 0,25. Ela é obtida pela razão entre a soma dos quadrados dos resíduos (SQE) e o número de graus de liberdade dos resíduos (n − 2). Como o enunciado fornece o coeficiente angular (β̂₁ = −0,10), o erro padrão desse coeficiente (0,01) e a soma dos quadrados totais (SQT = 32), precisamos primeiro encontrar a soma dos quadrados dos resíduos e, em seguida, dividi-la por 28 (30 − 2).

A variância residual (também chamada de quadrado médio do erro, QME) é uma medida da dispersão dos pontos em torno da reta de regressão. Ela estima a variância do termo de erro ε do modelo, que é um dos pressupostos da regressão linear. Quanto menor a variância residual, mais próximos os pontos observados estão da reta ajustada, indicando um bom ajuste do modelo.

Para calcular a variância residual, precisamos da soma dos quadrados dos resíduos (SQE). Uma forma de obtê-la é usar a relação entre o erro padrão do coeficiente angular e a soma dos quadrados da variável independente (Sxx). A variância do estimador β̂₁ é dada por:

onde σ² é a variância residual (desconhecida) e Sxx = Σ(Xᵢ − X̄)². O erro padrão é a raiz quadrada dessa variância, ou seja, EP(β̂₁) = 0,01, logo Var(β̂₁) = 0,01² = 0,0001.

Além disso, a soma dos quadrados da regressão (SQM) pode ser expressa como:

E sabemos que SQT = SQM + SQE. Portanto, podemos montar um sistema de equações para encontrar SQE e Sxx.

Vamos aos cálculos:

1. Variância do coeficiente angular:

   $Var(\hat{\beta}_1) = 0,01^2 = 0,0001$

1. Relação com Sxx:

   $0,0001 = \frac{\sigma^2}{S_{xx}} \Rightarrow S_{xx} = \frac{\sigma^2}{0,0001}$

1. Soma dos quadrados da regressão:

   $SQM = (-0,10)^2 \cdot S_{xx} = 0,01 \cdot S_{xx}$

1. Substituindo Sxx:

   $SQM = 0,01 \cdot \frac{\sigma^2}{0,0001} = 100 \cdot \sigma^2$

1. Usando SQT = SQM + SQE:

   $32 = 100\sigma^2 + SQE$

1. Mas SQE também se relaciona com σ²:

   $\sigma^2 = \frac{SQE}{n-2} = \frac{SQE}{28} \Rightarrow SQE = 28\sigma^2$

1. Substituindo na equação anterior:

   $32 = 100\sigma^2 + 28\sigma^2 = 128\sigma^2$

1. Resolvendo para σ²:

   $\sigma^2 = \frac{32}{128} = 0,25$

Portanto, a variância residual é 0,25, o que corresponde à alternativa C.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,01 é o erro padrão do coeficiente angular, não a variância residual. O candidato pode confundir o erro padrão com a variância, mas são conceitos distintos: o erro padrão é a raiz quadrada da variância do estimador, enquanto a variância residual é a dispersão dos erros do modelo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 0,10 é o módulo do coeficiente angular estimado (β̂₁ = −0,10). Não há relação direta entre o coeficiente angular e a variância residual, a menos que se considere a decomposição da soma de quadrados, mas o valor numérico não corresponde ao resultado correto.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a variância residual é 0,25. O cálculo envolve a relação entre o erro padrão do coeficiente, a soma de quadrados da regressão e a soma de quadrados total, resultando em σ² = 0,25.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 0,35 não corresponde a nenhum resultado intermediário relevante. Pode ser uma tentativa de distrair o candidato que não souber relacionar corretamente as grandezas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 0,40 também não é o resultado correto. Não há base nos dados fornecidos para chegar a esse número.

Gabarito: letra C.