Questão de Estatística — Intervalos de confiança — FGV 2023

Intervalo de Confiança para a Variância

Gabarito: letra B. O intervalo de confiança para a variância de uma população normal é construído usando a distribuição qui-quadrado, com limites dados por $\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}}$ e $\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}}$. Para a amostra Y, precisamos primeiro encontrar sua variância amostral a partir do coeficiente de variação (CV = 2) e da média ($\bar{x} = 5$), obtendo $s^2 = 100$. Em seguida, usando os quantis da qui-quadrado com 34 graus de liberdade (aproximados pelos valores do intervalo da amostra X), chegamos ao intervalo [65,4; 170].

A questão exige dois passos: (1) recuperar a variância amostral de Y a partir do coeficiente de variação e da média; (2) construir o intervalo de confiança para a variância usando a distribuição qui-quadrado. O coeficiente de variação amostral é definido como $CV = \frac{s}{\bar{x}}$, onde $s$ é o desvio padrão amostral. Com CV = 2 e $\bar{x} = 5$, temos $s = 10$ e, portanto, $s^2 = 100$.

O intervalo de confiança para a variância populacional $\sigma^2$ de uma população normal, com base em uma amostra de tamanho $n$, é dado por:

onde $\chi^2_{\alpha/2, \, n-1}$ e $\chi^2_{1-\alpha/2, \, n-1}$ são os quantis da distribuição qui-quadrado com $n-1$ graus de liberdade. Para $n = 35$, temos 34 graus de liberdade. Para um nível de confiança de 95%, $\alpha = 0,05$, então $\alpha/2 = 0,025$ e $1-\alpha/2 = 0,975$.

A amostra X fornece uma pista crucial: com variância amostral $s_X^2 = 104$ e $n = 35$, o intervalo de 95% é [68; 176,8]. Isso nos permite inferir os quantis da qui-quadrado com 34 graus de liberdade. O limite inferior do intervalo é $\frac{(n-1)s_X^2}{\chi^2_{0,975, \, 34}} = 68$, logo $\chi^2_{0,975, \, 34} = \frac{34 \times 104}{68} = 52$. O limite superior é $\frac{(n-1)s_X^2}{\chi^2_{0,025, \, 34}} = 176,8$, logo $\chi^2_{0,025, \, 34} = \frac{34 \times 104}{176,8} = 20$. Esses são os quantis aproximados da qui-quadrado com 34 graus de liberdade.

Aplicando esses quantis à amostra Y, com $s_Y^2 = 100$:

• Limite inferior: $\frac{34 \times 100}{52} = \frac{3400}{52} \approx 65,38$

• Limite superior: $\frac{34 \times 100}{20} = \frac{3400}{20} = 170$

Portanto, o intervalo aproximado é [65,4; 170], que corresponde à alternativa B.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O intervalo [42,5; 110,5] é muito estreito e deslocado para baixo. Isso ocorreria se usássemos quantis incorretos da qui-quadrado, como se os graus de liberdade fossem menores ou se a variância amostral fosse subestimada. Por exemplo, se usássemos $s^2 = 65$ em vez de 100, obteríamos limites próximos a esses valores. A banca explora o erro de não calcular corretamente a variância amostral a partir do coeficiente de variação.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O intervalo [65,4; 170] é exatamente o que obtemos ao aplicar a fórmula do intervalo de confiança para a variância com os quantis da qui-quadrado inferidos da amostra X. O limite inferior $\frac{34 \times 100}{52} \approx 65,38$ e o limite superior $\frac{34 \times 100}{20} = 170$ confirmam a alternativa. A chave foi primeiro encontrar $s_Y^2 = 100$ a partir do coeficiente de variação e da média, e depois usar os quantis corretos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O intervalo [72,5; 180,8] é deslocado para cima. Isso sugere que o candidato usou uma variância amostral maior que 100, talvez $s^2 = 110$ ou $s^2 = 115$, ou usou quantis ligeiramente diferentes. Por exemplo, com $s^2 = 110$, o limite inferior seria $\frac{34 \times 110}{52} \approx 71,9$ e o superior $\frac{34 \times 110}{20} = 187$, aproximando-se dos valores da alternativa. O erro está em não derivar corretamente a variância de Y.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo [75,5; 182,5] também é deslocado para cima. Isso ocorreria se o candidato usasse $s^2 = 115$ ou $s^2 = 120$, ou se confundisse o coeficiente de variação com o desvio padrão diretamente (usando $s = 2$ em vez de $s = 10$). Com $s^2 = 115$, o limite inferior seria $\frac{34 \times 115}{52} \approx 75,2$ e o superior $\frac{34 \times 115}{20} = 195,5$, próximo dos valores. A pegadinha é inverter o coeficiente de variação: $CV = \frac{s}{\bar{x}}$, não $CV = \frac{\bar{x}}{s}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O intervalo [82,5; 190] é o mais deslocado para cima. Isso sugere que o candidato usou uma variância amostral ainda maior, como $s^2 = 125$ ou $s^2 = 130$, ou usou quantis incorretos. Com $s^2 = 125$, o limite inferior seria $\frac{34 \times 125}{52} \approx 81,7$ e o superior $\frac{34 \times 125}{20} = 212,5$, aproximando-se dos valores. O erro fundamental é não perceber que o coeficiente de variação 2 indica um desvio padrão de 10, não de 2.

Gabarito: letra B