Estatística · FGV · 2023 | Questão sqc-fg071322

GabaritoA — diminui; aumenta; não permanece necessariamente constante e diminui;

Teste de hipóteses: relação entre intervalo de não rejeição, erros e nível de significância

Gabarito: letra A. Quando o intervalo de não rejeição da hipótese nula aumenta, o erro tipo I (α) diminui, o erro tipo II (β) aumenta, a soma α+β não permanece necessariamente constante e o nível de significância do teste diminui. Essa é a relação clássica entre a região de aceitação e os dois tipos de erro em um teste de hipóteses.

Para entender, precisamos lembrar as definições: o erro tipo I (α) é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira; o erro tipo II (β) é a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa. O nível de significância do teste é exatamente α, fixado a priori. A região de não rejeição (ou região de aceitação) é o complemento da região crítica: se o valor observado da estatística cai nela, não rejeitamos H₀.

Aumentar o intervalo de não rejeição significa alargar a região onde aceitamos H₀. Isso torna mais difícil rejeitar H₀, portanto a probabilidade de rejeitá-la quando ela é verdadeira (α) diminui. Por outro lado, ao aceitar H₀ com mais frequência, aumenta a chance de não rejeitá-la quando ela é falsa, ou seja, β aumenta. A soma α+β não tem relação fixa: ela pode variar dependendo da distribuição e dos parâmetros específicos, não sendo necessariamente constante. E como o nível de significância é α, ele também diminui.

A pegadinha da banca está em duas frentes: primeiro, muitos candidatos confundem o efeito sobre α e β, achando que ambos se movem na mesma direção; segundo, a alternativa B tenta induzir a erro ao afirmar que a soma α+β permanece necessariamente constante, o que não é verdade. A relação correta é a da alternativa A.

Variável	Efeito ao aumentar o intervalo de não rejeição	Justificativa
Erro tipo I (α)	Diminui	Rejeita-se menos H₀ verdadeira
Erro tipo II (β)	Aumenta	Aceita-se mais H₀ falsa
Soma α + β	Não permanece necessariamente constante	Depende das distribuições sob H₀ e H₁
Nível de significância	Diminui	É igual a α, que diminui

H₀ verdadeira

H₀ falsa

Rejeita H₀

Erro tipo I (α) diminui

Erro tipo II (β) aumenta

Não rejeita H₀

Decisão correta

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Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa descreve exatamente o comportamento esperado: ao aumentar o intervalo de não rejeição, α diminui (menos chance de rejeitar H₀ verdadeira), β aumenta (mais chance de aceitar H₀ falsa), a soma α+β não é necessariamente constante (depende das distribuições sob H₀ e H₁) e o nível de significância, que é α, também diminui. É a única que acerta todas as quatro relações.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Erra ao afirmar que a soma dos erros tipo I e tipo II "permanece necessariamente constante". Não há nenhuma garantia de que α+β seja constante quando o intervalo de não rejeição muda; isso só ocorreria em casos muito específicos, não como regra geral. As demais relações (α diminui, β aumenta, nível de significância diminui) estão corretas, mas o erro na soma invalida a alternativa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Inverte as relações de α e β: afirma que α aumenta e β diminui quando o intervalo de não rejeição aumenta. Na verdade, é o oposto: alargar a região de aceitação reduz α (rejeita-se menos H₀ verdadeira) e aumenta β (aceita-se mais H₀ falsa). Além disso, repete o erro da soma constante.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Erra em três pontos: diz que α aumenta (deveria diminuir), que β diminui (deveria aumentar) e que o nível de significância aumenta (deveria diminuir). Apenas acerta que a soma não é necessariamente constante, mas isso não salva a alternativa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Erra em dois pontos: afirma que α aumenta (deveria diminuir) e que o nível de significância aumenta (deveria diminuir). Acerta que β diminui e que a soma é constante, mas esta última está errada, e as inversões de α e nível de significância são graves.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre os efeitos sobre α e β. Muitos candidatos pensam que aumentar a região de aceitação aumenta ambos os erros, mas na verdade eles se movem em direções opostas: α diminui e β aumenta. Além disso, a alternativa B tenta fazer o candidato acreditar que α+β é sempre constante, o que não é verdade. Lembre-se: α e β são probabilidades condicionais sob hipóteses diferentes, e sua soma não tem relação fixa.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões assim, desenhe mentalmente as curvas sob H₀ e H₁. Aumentar a região de não rejeição equivale a mover os pontos críticos para fora, o que reduz a área de rejeição sob H₀ (α) e aumenta a área de aceitação sob H₁ (β). O nível de significância é α, então acompanha a diminuição. E a soma α+β só seria constante em casos muito especiais, como quando as distribuições são simétricas e os erros são iguais — não é uma regra geral.

Gabarito: letra A