Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2023

Percentis da distribuição uniforme

Gabarito: letra A. O i-ésimo percentil da distribuição uniforme contínua $X \sim U(a,b)$ é dado por $p(i) = a + (b-a) \cdot \frac{i}{100}$, que corresponde exatamente à alternativa A. Isso decorre da função de distribuição acumulada $F(x) = \frac{x-a}{b-a}$ para $a \le x \le b$: igualando $F(x)$ a $i/100$ e isolando $x$, obtém-se a expressão.

A distribuição uniforme contínua é aquela em que todos os intervalos de mesma amplitude dentro do suporte $[a,b]$ têm a mesma probabilidade. Sua função densidade é constante: $f(x) = \frac{1}{b-a}$ para $a \le x \le b$, e zero fora desse intervalo. A função de distribuição acumulada (FDA) cresce linearmente de 0 a 1, o que torna o cálculo de percentis particularmente simples: o percentil é um ponto que divide a área total em duas partes, com $i\%$ da área à esquerda.

O percentil $p(i)$ é definido como o valor tal que $P(X \le p(i)) = i/100$. Para a uniforme, isso significa resolver $F(p(i)) = i/100$. Como $F(x) = \frac{x-a}{b-a}$, temos:

Essa é a fórmula que aparece na alternativa A, com $i\%$ representando $i/100$.

A banca explora aqui a confusão entre o percentil e o ponto médio ou entre a base correta da expressão. Muitos candidatos somam ou subtraem incorretamente a amplitude, ou usam $b$ como ponto de partida em vez de $a$. A chave é lembrar que o percentil cresce de $a$ (quando $i=0$) até $b$ (quando $i=100$), e que a expressão deve refletir esse comportamento linear.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A expressão $a + (b-a)i\%$ é exatamente o percentil da uniforme. Para $i=0$, resulta em $a$; para $i=100$, resulta em $b$. A notação $i\%$ equivale a $i/100$, e a fórmula é a solução da equação $F(x) = i/100$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$b + (b-a)i\%$ parte de $b$ e soma a amplitude, o que levaria a valores maiores que $b$ para qualquer $i>0$. Isso contradiz o suporte da distribuição, que está limitado a $[a,b]$. O erro é usar $b$ como ponto de partida em vez de $a$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$a - (b-a)i\%$ subtrai a amplitude de $a$, produzindo valores menores que $a$ para qualquer $i>0$, fora do suporte. O sinal está invertido: deveria ser soma, não subtração.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$b - (a-b)i\%$ pode ser reescrita como $b + (b-a)i\%$, que é a alternativa B. O erro é o mesmo: parte de $b$ e soma a amplitude, ultrapassando o limite superior. A notação $(a-b)$ é apenas uma forma de escrever $-(b-a)$, mas a base continua errada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$b + \frac{b-a}{2}i\%$ usa a metade da amplitude, o que não corresponde ao percentil. Para $i=100$, resultaria em $b + \frac{b-a}{2}$, que é maior que $b$. O fator $1/2$ não tem justificativa teórica; o percentil deve percorrer toda a amplitude, não metade dela.

Gabarito: letra A.