Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — FGV 2023
Estatística›Principais distribuições de probabilidade
Código
fg071324
Banca
FGV
Órgão
TCE-ES
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Auditor de Controle Externo - Estatística
Suponha que um determinado evento ocorra segundo um processo de Poisson com uma taxa de λ eventos por unidade de tempo.
Defina X como o número de eventos ocorridos em um intervalo de tempo [0,t], ou seja, X segue a distribuição de Poisson com parâmetro (λt), de modo que: Prob(X = x) = e-λt (λt)x/ x!
Logo, a Prob(X ≥ x) significa que ocorreram, pelo menos, x eventos entre [0,t]. Seja T o instante em que ocorre o segundo evento, a função de densidade de probabilidade de T, para t ≥ 0, é:
Af(t) = λe−λt
Bf(t) = λte−λt
Cf(t) = λ2e−λt;
Df(t) = λ2te−λt
Ef(t) = (λt) 2e−λt
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GabaritoD — f(t) = λ² te −λt
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Distribuição do tempo até o segundo evento em um processo de Poisson
Gabarito: letra D. O instante T em que ocorre o segundo evento de um processo de Poisson com taxa λ segue uma distribuição Gama com parâmetros n=2 e λ, cuja função densidade de probabilidade é f(t) = λ² t e^(−λt). Isso decorre do fato de que o tempo de espera até o n-ésimo evento é a soma de n variáveis exponenciais independentes com média 1/λ, resultando em uma distribuição Gama.
Em um processo de Poisson, os tempos entre eventos consecutivos (tempos interchegadas) são variáveis aleatórias exponenciais independentes, cada uma com parâmetro λ. O tempo até o segundo evento, T, é a soma dos dois primeiros tempos interchegadas: T = T₁ + T₂. Como cada Tᵢ ~ Exp(λ), a soma de duas exponenciais independentes com o mesmo parâmetro segue uma distribuição Gama com parâmetros n=2 e λ. A função densidade de probabilidade da Gama com parâmetros n e λ é:
Para n=2, temos:
Essa é exatamente a alternativa D. A banca explora a confusão entre o tempo até o primeiro evento (exponencial) e o tempo até o segundo evento (Gama).
Alternativa A — ❌ Incorreta
f(t) = λ e^(−λt) é a densidade da distribuição exponencial com parâmetro λ, que modela o tempo até o primeiro evento, não até o segundo. A banca troca o tempo do primeiro pelo do segundo evento.
Alternativa B — ❌ Incorreta
f(t) = λt e^(−λt) não corresponde a nenhuma densidade conhecida. O fator t aparece, mas falta o quadrado em λ. A densidade correta tem λ², não λ.
Alternativa C — ❌ Incorreta
f(t) = λ² e^(−λt) é a densidade de uma Gama com n=1 (ou seja, exponencial com parâmetro λ), mas com λ² no lugar de λ. O fator t está ausente, o que a torna incorreta para o segundo evento.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
f(t) = λ² t e^(−λt) é exatamente a densidade da distribuição Gama com parâmetros n=2 e λ, que modela o tempo até o segundo evento. A presença do fator t e do λ² é o que caracteriza a soma de duas exponenciais.
Alternativa E — ❌ Incorreta
f(t) = (λt)² e^(−λt) = λ² t² e^(−λt) tem o fator t², que corresponderia a uma Gama com n=3 (tempo até o terceiro evento), não até o segundo. O expoente de t deve ser n−1 = 1.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre o tempo até o primeiro evento (exponencial) e o tempo até o segundo evento (Gama). Muitos candidatos marcam a alternativa A, que é a densidade exponencial, por associarem diretamente o processo de Poisson à exponencial. Lembre-se: o tempo até o k-ésimo evento é uma Gama com parâmetros k e λ, e a densidade tem o fator t^(k−1).
PEGA ESSA DICA!
Para resolver questões assim, identifique primeiro qual evento está sendo pedido. Se for o primeiro, use exponencial; se for o segundo ou além, use Gama. A fórmula geral da Gama é f(t) = λ^k t^(k−1) e^(−λt) / (k−1)!. Decore essa fórmula e você resolve qualquer variação.