Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2023

Estimador de Máxima Verossimilhança para P(X > 1) na Distribuição Geométrica

Gabarito: letra D. O estimador de máxima verossimilhança para $P(X > 1)$ é $1 - \frac{1}{\bar{x}}$, pois, pela propriedade de invariância do EMV, basta aplicar a transformação $1 - p$ ao estimador de $p$, que é $\hat{p}_{MV} = 1/\bar{x}$. A questão explora exatamente essa propriedade: primeiro obtém-se o EMV de $p$ e, em seguida, transforma-se a função de interesse.

A distribuição geométrica, com função de probabilidade $P(X = x) = p(1-p)^{x-1}$ para $x = 1, 2, 3, \dots$, modela o número de tentativas até o primeiro sucesso. O parâmetro $p$ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa. Para uma amostra aleatória simples $X_1, \dots, X_n$, a função de verossimilhança é $L(p) = \prod_{i=1}^n p(1-p)^{x_i-1} = p^n (1-p)^{\sum x_i - n}$. Maximizando o logaritmo da verossimilhança, obtém-se o estimador de máxima verossimilhança de $p$:

Agora, a probabilidade de interesse é $P(X > 1)$. Como a variável assume valores inteiros positivos, $P(X > 1) = 1 - P(X = 1) = 1 - p$. Pela propriedade de invariância do estimador de máxima verossimilhança, se $\hat{p}_{MV}$ é o EMV de $p$, então o EMV de qualquer função $g(p)$ é $g(\hat{p}_{MV})$. Portanto, o EMV de $P(X > 1) = 1 - p$ é:

A pegadinha central está em reconhecer que $P(X > 1)$ não é simplesmente $p$, mas sim o complemento de $P(X = 1)$. O candidato que memoriza apenas o EMV de $p$ pode se confundir e marcar a alternativa C, esquecendo de aplicar a transformação correta.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{1}{\bar{x}^2} + \frac{2}{\bar{x}} - 1$ não corresponde a nenhuma transformação direta de $\hat{p}_{MV}$. Ela parece uma combinação algébrica arbitrária, sem relação com a probabilidade $P(X > 1) = 1 - p$. Não há fundamento estatístico para essa forma.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{1}{\bar{x}} - 1$ é o negativo do complemento correto. Ela representa $\hat{p}_{MV} - 1$, que é o oposto de $1 - \hat{p}_{MV}$. O erro está na ordem da subtração: o correto é $1 - \hat{p}_{MV}$, não $\hat{p}_{MV} - 1$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta apenas $\frac{1}{\bar{x}}$, que é o EMV de $p$, não de $P(X > 1)$. É a pegadinha clássica: o candidato que encontra o EMV de $p$ e não aplica a transformação para a probabilidade pedida cai aqui. A questão pede explicitamente o estimador para $P(X > 1)$, que é uma função de $p$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A expressão $1 - \frac{1}{\bar{x}}$ é exatamente o EMV de $P(X > 1)$. Como $P(X > 1) = 1 - P(X = 1) = 1 - p$, e o EMV de $p$ é $\hat{p}_{MV} = 1/\bar{x}$, pela propriedade de invariância, o EMV de $1 - p$ é $1 - \hat{p}_{MV} = 1 - 1/\bar{x}$. A alternativa espelha corretamente essa transformação.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A expressão $1 - \frac{2}{\bar{x}} + \frac{1}{\bar{x}^2}$ é o quadrado de $1 - \frac{1}{\bar{x}}$, ou seja, $\left(1 - \hat{p}_{MV}\right)^2$. Isso corresponderia ao EMV de $(1-p)^2 = P(X > 1)^2$, não de $P(X > 1)$. A banca tenta confundir com uma transformação quadrática que não é a pedida.

Gabarito: letra D