Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2023

Probabilidade condicional com estatísticas de ordem

Gabarito: letra D (0,90). A probabilidade pedida é $P(X \leq 0 \mid Y^2 = 1) = 0{,}90$, pois, dado que o maior dos dois números tem quadrado igual a 1 (ou seja, $Y = 1$), o menor número $X$ é menor ou igual a zero em 9 dos 10 pares ordenados igualmente prováveis que satisfazem essa condição — apenas o par $(1,1)$ tem $X = 1 > 0$. O cálculo usa a definição clássica de probabilidade condicional $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, contando os resultados favoráveis sobre os possíveis.

O ponto central desta questão é entender o que significam $X$ e $Y$: eles não são duas variáveis independentes quaisquer, mas sim as estatísticas de ordem de dois lançamentos. Quando rodamos a roleta duas vezes, obtemos um par ordenado $(a, b)$, onde $a$ é o primeiro resultado e $b$ o segundo. A partir desse par, definimos $X = \min(a, b)$ (o menor) e $Y = \max(a, b)$ (o maior). Como a roleta é honesta e tem 5 setores iguais, cada um dos $5 \times 5 = 25$ pares ordenados possíveis tem a mesma probabilidade de $\frac{1}{25}$.

A condição dada é $Y^2 = 1$. Como $Y$ é um dos números da roleta, $Y^2 = 1$ implica $Y = 1$ (pois $Y$ é o maior, e os valores possíveis são $-10, -1, 0, 1, 10$; o quadrado de qualquer outro número não é 1). Precisamos então listar todos os pares ordenados $(a, b)$ cujo máximo é 1. Isso ocorre quando ambos os números são menores ou iguais a 1, e pelo menos um deles é exatamente 1. Os valores possíveis menores ou iguais a 1 são: $-10, -1, 0, 1$. Assim, os pares ordenados com máximo igual a 1 são:

• Com $a = 1$: $(1, -10), (1, -1), (1, 0), (1, 1)$ — 4 pares.

• Com $b = 1$ e $a \neq 1$: $(-10, 1), (-1, 1), (0, 1)$ — 3 pares.

Total de pares com $Y = 1$: $4 + 3 = 7$ pares. Mas espere — o par $(1,1)$ foi contado apenas uma vez na primeira lista, e não aparece na segunda, então o total é 7. Vamos verificar: os pares são $(1,-10), (1,-1), (1,0), (1,1), (-10,1), (-1,1), (0,1)$. São 7 pares distintos. Cada um tem probabilidade $\frac{1}{25}$, então $P(Y = 1) = \frac{7}{25}$.

Agora, entre esses 7 pares, queremos aqueles em que $X = \min(a, b) \leq 0$. Vamos analisar cada par:

• $(1, -10)$: $X = -10 \leq 0$ ✅

• $(1, -1)$: $X = -1 \leq 0$ ✅

• $(1, 0)$: $X = 0 \leq 0$ ✅

• $(1, 1)$: $X = 1 > 0$ ❌

• $(-10, 1)$: $X = -10 \leq 0$ ✅

• $(-1, 1)$: $X = -1 \leq 0$ ✅

• $(0, 1)$: $X = 0 \leq 0$ ✅

Dos 7 pares, 6 têm $X \leq 0$. Portanto, $P(X \leq 0 \cap Y = 1) = \frac{6}{25}$. A probabilidade condicional é:

Isso daria aproximadamente 0,86, que não está entre as alternativas. Há um erro na minha contagem? Vamos reconsiderar. A condição é $Y^2 = 1$, e $Y$ é o maior dos dois números. Se $Y = 1$, então ambos os números são $\leq 1$ e pelo menos um é 1. Mas também devemos considerar que $Y$ pode ser $-1$? Não, pois $Y$ é o maior dos dois. Se um dos números é $-1$ e o outro é, digamos, $-10$, o maior é $-1$, e $Y^2 = 1$. Então $Y = -1$ também satisfaz $Y^2 = 1$! A condição $Y^2 = 1$ inclui tanto $Y = 1$ quanto $Y = -1$. Vamos refazer.

Caso 1: $Y = 1$ — já listamos: 7 pares.

Caso 2: $Y = -1$ — o maior dos dois é $-1$, então ambos os números são $\leq -1$ e pelo menos um é $-1$. Os valores possíveis menores ou iguais a $-1$ são: $-10, -1$. Os pares ordenados com máximo igual a $-1$ são:

• Com $a = -1$: $(-1, -10), (-1, -1)$ — 2 pares.

• Com $b = -1$ e $a \neq -1$: $(-10, -1)$ — 1 par.

Total: 3 pares: $(-1,-10), (-1,-1), (-10,-1)$.

Agora, o evento total $Y^2 = 1$ tem $7 + 3 = 10$ pares ordenados igualmente prováveis. A probabilidade $P(Y^2 = 1) = \frac{10}{25}$.

Agora, entre esses 10 pares, queremos $X \leq 0$. Vamos analisar:

• Para $Y = 1$: 6 pares têm $X \leq 0$ (todos exceto $(1,1)$).

• Para $Y = -1$: todos os 3 pares têm $X \leq 0$? $(-1,-10)$: $X = -10 \leq 0$ ✅; $(-1,-1)$: $X = -1 \leq 0$ ✅; $(-10,-1)$: $X = -10 \leq 0$ ✅. Sim, todos os 3.

Total de pares com $X \leq 0$ e $Y^2 = 1$: $6 + 3 = 9$.

Portanto:

A resposta é 0,90, letra D. A pegadinha está em esquecer que $Y$ pode ser $-1$, não apenas $1$. Muitos candidatos consideram apenas $Y = 1$ e obtêm $\frac{6}{7} \approx 0{,}86$, que não está nas alternativas, ou forçam um arredondamento errado. A condição $Y^2 = 1$ é satisfeita por $Y = 1$ e $Y = -1$, e ambos os casos devem ser incluídos no espaço amostral condicionado.

Vamos formalizar com a definição de probabilidade condicional. Seja $A$ o evento $X \leq 0$ e $B$ o evento $Y^2 = 1$. Então:

A contagem direta é o método mais seguro aqui, pois o espaço amostral é pequeno e enumerável. A roleta honesta garante que todos os 25 pares ordenados são igualmente prováveis, então a probabilidade é simplesmente a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis dentro da condição.

Alternativa A — ❌ Incorreta

0,75 corresponderia a considerar apenas 3 dos 4 pares favoráveis em um espaço de 4, ou algum outro erro de contagem. Não há fundamento: o espaço condicionado tem 10 pares, e 9 são favoráveis. Esse valor não corresponde a nenhuma contagem correta dos pares com $Y^2 = 1$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

0,80 seria o resultado se houvesse 8 pares favoráveis em 10, mas há 9. Pode surgir se o candidato contar corretamente os 10 pares com $Y^2 = 1$, mas esquecer de incluir, por exemplo, o par $(-1,-1)$ ou $(-10,-1)$ como favoráveis, ou se considerar que $X$ deve ser estritamente menor que zero (excluindo $X = 0$), o que daria 7 ou 8 casos. Mas a condição é $X \leq 0$, que inclui o zero.

Alternativa C — ❌ Incorreta

0,85 é um distrator próximo do valor correto. Pode ser obtido se o candidato considerar apenas $Y = 1$ (7 pares) e contar 6 favoráveis, obtendo $\frac{6}{7} \approx 0{,}857$, e arredondar para 0,85. Mas o arredondamento correto de $\frac{6}{7}$ seria 0,86, e além disso o espaço amostral correto inclui $Y = -1$. A alternativa C é uma armadilha clássica para quem esquece o caso $Y = -1$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o espaço amostral condicionado a $Y^2 = 1$ tem 10 pares ordenados igualmente prováveis: 7 com $Y = 1$ e 3 com $Y = -1$. Desses, 9 têm $X \leq 0$ (todos exceto o par $(1,1)$). Portanto, $P(X \leq 0 \mid Y^2 = 1) = \frac{9}{10} = 0{,}90$. A alternativa espelha exatamente a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis na condição.

Alternativa E — ❌ Incorreta

0,95 seria o resultado se houvesse 19 pares favoráveis em 20, ou 9,5 em 10, o que não é possível na contagem discreta. Pode surgir de um erro de arredondamento ou de uma contagem incorreta que inclua pares que não satisfazem $Y^2 = 1$. Não há base para esse valor.

Gabarito: letra D — a probabilidade é 0,90, pois dos 10 pares ordenados com $Y^2 = 1$, exatamente 9 têm $X \leq 0$.