Estatística · FGV · 2023 | Questão sqc-fg071329

Teorema de Bayes aplicado a testes diagnósticos

Gabarito: letra C. A probabilidade de o componente ser realmente adulterado dado que o teste deu positivo é de aproximadamente 8%. Isso é obtido pelo Teorema de Bayes, que combina a prevalência da adulteração (0,2%) com a sensibilidade (90%) e o complemento da especificidade (2%) do teste. A conta mostra que, apesar de o teste ser bastante preciso, a baixíssima prevalência faz com que a maioria dos resultados positivos sejam falsos positivos.

O problema é um clássico de probabilidade condicional e Teorema de Bayes. Vamos definir os eventos:

$A$ : componente adulterado.
$T^+$ : teste indica adulteração (resultado positivo).

Do enunciado:

$P(A) = 0,2\% = 0,002$ (prevalência).
$P(T^+ | A) = 90\% = 0,9$ (sensibilidade: detecta adulteração quando ela existe).
$P(T^- | A^c) = 98\% = 0,98$ (especificidade: indica inexistência quando não há adulteração).

Logo, a probabilidade de um falso positivo é:

P(T^+ | A^c) = 1 - P(T^- | A^c) = 1 - 0,98 = 0,02.

Queremos $P(A | T^+)$ , a probabilidade de ser adulterado dado que o teste deu positivo. Pelo Teorema de Bayes:

P(A | T^+) = \frac{P(T^+ | A) \cdot P(A)}{P(T^+)}.

O denominador $P(T^+)$ é a probabilidade total de o teste dar positivo, calculada pela lei da probabilidade total:

P(T^+) = P(T^+ | A) \cdot P(A) + P(T^+ | A^c) \cdot P(A^c).

Substituindo os valores:

P(T^+) = 0,9 \times 0,002 + 0,02 \times 0,998 = 0,0018 + 0,01996 = 0,02176.

Agora aplicamos Bayes:

P(A | T^+) = \frac{0,9 \times 0,002}{0,02176} = \frac{0,0018}{0,02176} \approx 0,0827 \approx 8,3\%.

Portanto, a probabilidade é de aproximadamente 8%.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a falácia da taxa base: o candidato tende a responder 90% (a sensibilidade) ou a combinar 0,2% com 90% de forma ingênua, ignorando os falsos positivos. Como a prevalência é baixíssima (0,2%), mesmo um teste com 98% de especificidade gera muitos falsos positivos — por isso o resultado é tão menor que 90%. A alternativa E (48%) é um distrator clássico para quem calcula a probabilidade sem considerar a prevalência corretamente.

Evento	Probabilidade	Valor
A (adulterado)	P(A)	0,002
A^c (não adulterado)	P(A^c)	0,998
T^+ dado A (sensibilidade)	P(T^+ \| A)	0,9
T^+ dado A^c (falso positivo)	P(T^+ \| A^c)	0,02
T^+ (total)	P(T^+) = 0,9×0,002 + 0,02×0,998	0,02176
A dado T^+ (Bayes)	P(A \| T^+) = 0,0018 / 0,02176	≈ 0,0827 (8,3%)

Adulterado

Não adulterado

Teste negativo

Verdadeiro positivo (90%)

Falso positivo (2%)

Teste positivo

Falso negativo (10%)

Verdadeiro negativo (98%)

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Alternativa A — ❌ Incorreta

0,2% é a prevalência da adulteração na população, ou seja, $P(A)$ . A questão pede a probabilidade dado que o teste deu positivo, que é uma probabilidade condicional — não pode ser simplesmente a prevalência. O teste positivo aumenta a chance, mas não para 90%.

Alternativa B — ❌ Incorreta

2% é a probabilidade de falso positivo ( $P(T^+ | A^c) = 1 - 0,98 = 0,02$ ). É um valor que aparece no cálculo, mas não é a resposta. Confunde a probabilidade de o teste dar positivo em um componente não adulterado com a probabilidade de o componente ser adulterado dado o positivo.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, $P(A | T^+) \approx 8,3\%$ , aproximadamente 8%. O Teorema de Bayes combina a sensibilidade (90%), a especificidade (98%) e a prevalência (0,2%) para corrigir a probabilidade a posteriori.

Alternativa D — ❌ Incorreta

18% não corresponde a nenhuma combinação direta dos dados. Pode ser um distrator para quem tenta calcular algo como $0,9 \times 0,2 = 0,18$ (multiplicando sensibilidade por prevalência em percentuais), mas isso não tem significado probabilístico aqui.

Alternativa E — ❌ Incorreta

48% é um valor que surge se o candidato ignora a prevalência e calcula algo como $\frac{0,9}{0,9 + 0,98}$ ou similar, tratando sensibilidade e especificidade como se fossem diretamente comparáveis. É a armadilha clássica de quem não aplica Bayes corretamente.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de teste diagnóstico, sempre monte a tabela 2×2 com os valores absolutos para uma população hipotética (ex.: 100.000 componentes). Isso evita erros de interpretação e facilita o cálculo de $P(A | T^+)$ diretamente. Por exemplo, em 100.000 componentes, 200 são adulterados (0,2%); desses, 180 dão positivo (90%). Dos 99.800 não adulterados, 1.996 dão positivo (2%). Total de positivos = 180 + 1.996 = 2.176; a probabilidade de ser adulterado dado positivo = 180 / 2.176 ≈ 8,3%.

Gabarito: letra C.