Questão de Matemática — Potência — FGV 2023

Potenciação e divisibilidade

Gabarito: letra A. A expressão $2^{99} - 2^{97} + 2^{95} - 2^{92}$ dividida por $2^{87}$ resulta em $2^{12} - 2^{10} + 2^8 - 2^5$, que é um número natural par e divisível por 103. A resolução usa as propriedades de potências de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes) e, em seguida, a fatoração para verificar a divisibilidade.

A questão combina dois temas: operações com potências e critérios de divisibilidade. O primeiro passo é simplificar a expressão aplicando a propriedade da divisão de potências de mesma base: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Como todos os termos do numerador têm base 2, podemos dividir cada um por $2^{87}$ subtraindo os expoentes.

Vamos fazer isso passo a passo:

1. $2^{99} \div 2^{87} = 2^{99-87} = 2^{12}$

2. $2^{97} \div 2^{87} = 2^{97-87} = 2^{10}$

3. $2^{95} \div 2^{87} = 2^{95-87} = 2^8$

4. $2^{92} \div 2^{87} = 2^{92-87} = 2^5$

Assim, a expressão original equivale a:

Agora, vamos calcular o valor numérico:

• $2^{12} = 4096$

• $2^{10} = 1024$

• $2^8 = 256$

• $2^5 = 32$

Substituindo:

Portanto, o resultado é 3296, um número natural par. Agora, precisamos verificar a divisibilidade por 103. Vamos dividir 3296 por 103:

Como 103 × 32 = 3296, a divisão é exata. Logo, o número é divisível por 103.

A alternativa A afirma exatamente isso: "um número natural par e é divisível por 103". As demais alternativas apresentam características incorretas, como veremos a seguir.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A expressão simplificada resulta em 3296, que é um número natural par (termina em 6, portanto divisível por 2) e é divisível por 103, pois 3296 ÷ 103 = 32 exato. A alternativa está correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o número é primo. Um número primo tem exatamente dois divisores: 1 e ele mesmo. Como 3296 é divisível por 2 (é par) e por 103, ele tem mais de dois divisores, logo não é primo. O erro está em classificar como primo um número que claramente possui divisores além de 1 e ele mesmo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o número é inteiro negativo. O resultado da expressão é positivo (3296), pois todos os termos são potências de 2 com expoentes positivos e a soma dos termos positivos supera a soma dos negativos. Além disso, a divisão por $2^{87}$ (positivo) mantém o sinal positivo. A alternativa também menciona divisibilidade por 16, mas o número 3296 não é divisível por 16 (3296 ÷ 16 = 206, que não é inteiro). O erro principal é o sinal negativo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o número é divisível somente por potências de 2. Isso é falso, pois 3296 é divisível por 103, que não é potência de 2. A expressão fatorada $2^5 \times 103$ mostra que há um fator primo ímpar. Portanto, a afirmação de que é divisível somente por potências de 2 está incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o número não é divisível por 412. Vamos verificar: 412 = 4 × 103. Como 3296 é divisível por 4 (os dois últimos algarismos, 96, são divisíveis por 4) e por 103, então é divisível por 412. De fato, 3296 ÷ 412 = 8. Portanto, a afirmação é falsa.

Gabarito: letra A