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Questão de Matemática — Médias — FGV 2023

MatemáticaMédias
Código
fg074175
Banca
FGV
Órgão
SEDUC-TO
Ano
2023
Nível
Superior
A tabela a seguir apresenta a distribuição das notas obtidas por 25 estudantes de uma classe em uma avaliação com notas que podiam variar de 0 a 5: 

                                 Nota                  0   1    2    3    4    5

                                 Quantidade      1   4    6    8    4    2


A média aritmética das notas obtidas pela classe nessa avaliação é
  1. A2,64.
  2. B2,70.
  3. C2,78.
  4. D2,84.
  5. E2,92.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 2,64.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 2,64 (alternativa A).

A ideia por trás

A média aritmética é o valor que representa o centro de um conjunto de dados: somamos todos os valores e dividimos pelo número de elementos. Quando os dados vêm em uma tabela de frequências, cada valor aparece várias vezes, então precisamos multiplicar cada valor pela sua frequência antes de somar — isso é a média ponderada. A fórmula é xˉ\bar{x} = ∑(xi⋅fi)∑fi\frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{\sum f_i}, onde x_i é cada nota e f_i é quantas vezes ela aparece. Se uma nota tem frequência maior, ela 'puxa' a média para perto dela. Nesta questão, a nota 3 tem a maior frequência (8), então a média deve ficar próxima de 3, mas um pouco abaixo, porque há muitas notas baixas. O erro comum é calcular a média simples das notas (0+1+2+3+4+5)/6 = 2,5, ignorando as frequências.

O que a questão dá

  • notas: 0, 1, 2, 3, 4, 5

  • frequências: 1, 4, 6, 8, 4, 2

  • total de estudantes: 25

O que queremos: a média aritmética das notas da classe

Passo 1 — Multiplicar cada nota pela sua frequência

Para calcular a média ponderada, precisamos do total de pontos que a classe obteve. Cada nota vale por quantos estudantes a tiraram, então multiplicamos nota × frequência para saber quantos pontos aquela nota contribuiu.

Por que esta fórmula: A média ponderada exige que cada valor seja multiplicado pelo seu peso (frequência). Sem isso, estaríamos tratando todas as notas como se tivessem o mesmo número de estudantes, o que não é verdade.

xi⋅fix_i \cdot f_i

De onde vem cada valor: xix_i = enunciado: notas 0, 1, 2, 3, 4, 5 · fif_i = enunciado: frequências 1, 4, 6, 8, 4, 2

0⋅1=0,  1⋅4=4,  2⋅6=12,  3⋅8=24,  4⋅4=16,  5⋅2=10=produtos:0,4,12,24,16,100 \cdot 1 = 0, \; 1 \cdot 4 = 4, \; 2 \cdot 6 = 12, \; 3 \cdot 8 = 24, \; 4 \cdot 4 = 16, \; 5 \cdot 2 = 10 = \boxed{\text{produtos}: 0, 4, 12, 24, 16, 10}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar alguma frequência, ou multiplicar errado (ex.: 3×8 = 24, mas alguém pode pôr 3×9 = 27).

Passo 2 — Somar os produtos obtidos

Agora que temos o total de pontos de cada nota, precisamos juntar tudo para saber quantos pontos a classe inteira fez. Essa soma é o numerador da média.

Por que esta fórmula: A soma dos produtos é o total de pontos acumulados por todos os estudantes. É o que a fórmula ∑\sum xi⋅fix_i \cdot f_i representa.

∑(xi⋅fi)\sum (x_i \cdot f_i)

De onde vem cada valor: xi⋅fix_i \cdot f_i = passo 1: 0, 4, 12, 24, 16, 10

0+4+12+24+16+10=66 pontos0 + 4 + 12 + 24 + 16 + 10 = \boxed{66\ \text{pontos}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma, por exemplo, somar 0+4+12+24+16+10 = 66, mas se esquecer de um termo, o total fica errado.

Passo 3 — Somar as frequências para obter o total de estudantes

A média é o total de pontos dividido pelo número de estudantes. Precisamos do denominador, que é a soma das frequências — ou seja, quantos estudantes há no total.

Por que esta fórmula: O denominador da média ponderada é a soma das frequências, que representa o número total de elementos do conjunto. No enunciado já diz que são 25, mas é bom conferir somando.

∑fi\sum f_i

De onde vem cada valor: fif_i = enunciado: 1, 4, 6, 8, 4, 2

1+4+6+8+4+2=25 estudantes1 + 4 + 6 + 8 + 4 + 2 = \boxed{25\ \text{estudantes}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o número de linhas da tabela (6) em vez da soma das frequências (25).

Passo 4 — Dividir o total de pontos pelo total de estudantes

Com o total de pontos (66) e o número de estudantes (25), calculamos a média: é a divisão que distribui os pontos igualmente entre todos.

Por que esta fórmula: A média aritmética é definida como a soma dos valores dividida pela quantidade de valores. Aqui, os valores são os pontos de cada estudante, então dividimos o total de pontos pelo número de estudantes.

xˉ=∑(xi⋅fi)∑fi\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{\sum f_i}

De onde vem cada valor: ∑(xi⋅fi)\sum (x_i \cdot f_i) = passo 2: 66 · ∑fi\sum f_i = passo 3: 25

xˉ=6625=2,64\bar{x} = \frac{66}{25} = \boxed{2{,}64}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 66 por 6 (número de notas) em vez de 25, o que daria 11 — completamente errado.

Resposta: 2,64 (alternativa A)

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