Questão de Matemática Financeira — Taxa efetiva e Taxa Nominal — FGV 2023
Matemática Financeira›Taxa efetiva e Taxa Nominal
Código
fg074549
Banca
FGV
Órgão
TCE-ES
Ano
2023
Nível
Superior
Pedro está pensando em comprar um bem que custa R$ 1.700,00, caso o pagamento seja à vista. O vendedor oferece a opção de pagar em 2 parcelas mensais fixas de R$ 1.000,00 sem entrada, com a primeira parcela a ser paga um mês após a data da compra.A equação que a taxa mensal de juros
A1700 ⋅ (1 + x) = 2000
B1000 ⋅ (1 + x) + 1000 ⋅ (1 + x)² = 1700
C2 1700/1+x = 2000
D1000/1+x + 1000/(1+x)² = 1700
E2000/(1+x)² = 1700/1+x
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GabaritoD — 1000/1+x + 1000/(1+x)² = 1700
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Taxa de juros e equivalência de capitais
Gabarito: letra D. O valor presente das duas parcelas de R$ 1.000,00, descontadas à taxa mensal composta (x), deve igualar o preço à vista de R$ 1.700,00. Portanto, a equação correta é ( \frac{1000}{1+x} + \frac{1000}{(1+x)^2} = 1700 ).
A questão testa o conceito de equivalência de capitais sob juros compostos: quando se paga a prazo, o valor atual (presente) do fluxo de pagamentos deve ser igual ao valor à vista. Cada parcela futura é trazida a valor presente descontando-se pela taxa de juros.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre valor presente e valor futuro. Muitos candidatos somam as parcelas (R$ 2.000) e comparam diretamente com R$ 1.700, esquecendo que os pagamentos futuros precisam ser descontados. A alternativa A (1.700(1+x)=2000) reflete esse erro, tratando os R$ 1.700 como valor presente que renderia juros simples para se igualar aos R$ 2.000 em dois meses, o que não é correto.
Caso
Equação testada
Interpretação do erro
Resultado
A
1700·(1+x) = 2000
Trata valor à vista como principal que cresce linearmente para o total das parcelas, ignorando capitalização composta e prazos diferentes
Incorreta
B
1000·(1+x) + 1000·(1+x)² = 1700
Capitaliza as parcelas para o futuro, quando o correto é trazer a valor presente
Incorreta
C
1700/(1+x) = 2000
Isola termo incorretamente, não representa soma descontada
Incorreta
D
1000/(1+x) + 1000/(1+x)² = 1700
Desconta corretamente as duas parcelas mensais e iguala ao valor à vista
Correta
E
2000/(1+x)² = 1700/(1+x)
Trata total das parcelas como montante único descontado por 2 meses, enquanto valor à vista é descontado por 1 mês
Incorreta
Alternativa A — ❌ Incorreta
(1700 \cdot (1+x) = 2000) trata o valor à vista como principal que cresceria linearmente para o total das parcelas, ignorando a capitalização composta e o fato de que as parcelas têm prazos diferentes. Correto é descontar cada parcela.
Alternativa B — ❌ Incorreta
(1000(1+x) + 1000(1+x)^2 = 1700) capitaliza as parcelas para o futuro, quando o correto é trazer a valor presente. Essa equação igualaria o valor futuro das parcelas ao valor presente, o que é inconsistente.
Alternativa C — ❌ Incorreta
( \frac{1700}{1+x} = 2000 ) isola um dos termos incorretamente, não representa a soma descontada.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
( \frac{1000}{1+x} + \frac{1000}{(1+x)^2} = 1700 ) descontam-se corretamente as duas parcelas mensais (a primeira a 1 mês, a segunda a 2 meses) e iguala-se ao valor à vista.
Alternativa E — ❌ Incorreta
( \frac{2000}{(1+x)^2} = \frac{1700}{1+x} ) simplifica-se para ( \frac{2000}{1700} = 1+x ), ou seja, ( x \approx 17,65\% ), mas isso não corresponde à equação correta; trata o total das parcelas como um único montante descontado por 2 meses enquanto o valor à vista é descontado por 1 mês, o que não é equivalente.