Questão de Matemática — Álgebra Linear - Equações Lineares, Espaço Vetorial e Transformações Lineares e Matrizes — FGV 2024

Decomposição em Valores Singulares (SVD) e a propriedade de V

Gabarito: letra E — a saída é 1 -- 1. A razão é que a matriz V retornada pela função svd() do R é uma matriz ortogonal (suas colunas são vetores ortonormais), e o produto V %*% t(V) resulta na matriz identidade, cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1.

A SVD fatora uma matriz $A$ como $A = U D V^T$ (no caso real), onde $U$ e $V$ são matrizes ortogonais (ou unitárias, no caso complexo) e $D$ é uma matriz diagonal com os valores singulares. Uma matriz ortogonal $V$ satisfaz $V^T V = V V^T = I$, ou seja, sua transposta é sua inversa. No R, svd_result$v retorna a matriz $V$ (os vetores singulares à direita), que é ortogonal. Portanto, M <- V %*% t(V) calcula $V V^T$, que é exatamente a matriz identidade $I$. Assim, M[1,1] e M[2,2] são ambos 1.

A pegadinha da questão está em não reconhecer a ortogonalidade de $V$ e tentar calcular os elementos manualmente, o que levaria a valores como $0.7071$ (que é o valor de cada componente de $V$ quando a matriz é simétrica, mas não o produto $V V^T$). A banca explora exatamente essa confusão entre os elementos de $V$ e os elementos de $V V^T$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Os valores 10 -- 2.4652e-32 não correspondem a nenhum elemento de $V V^T$. O número 10 poderia ser o quadrado da norma de um vetor, mas aqui não se aplica. O valor 2.4652e-32 é um resíduo numérico próximo de zero, o que não é o caso para os elementos da diagonal de $V V^T$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

0.7071068 -- 0.7071068 são os valores dos elementos de $V$ (cada componente é $1/\sqrt{2} \approx 0.7071$), mas a questão pede os elementos de $M = V V^T$, não de $V$. A confusão aqui é trocar os elementos da matriz $V$ pelos elementos do produto $V V^T$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

-0.4472136 -- 0.4472136 são valores que apareceriam se a matriz $V$ tivesse componentes com sinais opostos, mas isso não se aplica ao produto $V V^T$, que é a identidade. Além disso, os sinais opostos não são característicos de $V$ para esta matriz $A$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

3.162278e+00 -- 1.570092e-16 são valores que lembram os valores singulares de $A$ (o maior é $\sqrt{10} \approx 3.1623$) e um resíduo numérico. Mas a questão pede os elementos de $V V^T$, não os valores singulares. A confusão aqui é trocar os valores singulares (diagonal de $D$) pelos elementos de $M$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como $V$ é ortogonal, $V V^T = I$, logo $M[1,1] = 1$ e $M[2,2] = 1$. A saída é 1 -- 1.

Gabarito: letra E