Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Álgebra Linear - Equações Lineares, Espaço Vetorial e Transformações Lineares e Matrizes — FGV 2024

MatemáticaÁlgebra Linear - Equações Lineares, Espaço Vetorial e Transformações Lineares e Matrizes
Código
fg084628
Banca
FGV
Órgão
EPE
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Analista de Gestão Corporativa - Tecnologia da Informação (Ciência de Dados)
As métricas de distância em aprendizado de máquina estão relacionadas às normas de vetores que costumam representar instâncias de dados. Duas normas comuns em ciência de dados são as normas L1 e L2.Sejam a matriz Imagem associada para resolução da questão e um vetor v, bidimensional, cujos elementos são os autovalores de A.As normas L1 e L2 de v são, respectivamente, dadas por
  1. A7 e 8.
  2. B7 e 25.
  3. C7 e 50.
  4. D8 e 5√2.
  5. E8 e 50.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 8 e 5√2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Álgebra Linear — Autovalores e Normas Vetoriais

Gabarito: letra D. Os autovalores da matriz A=[3443]A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} são encontrados resolvendo a equação característica det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0, resultando em λ1=7\lambda_1 = 7 e λ2=−1\lambda_2 = -1. O vetor vv é formado por esses autovalores, v=(7,−1)v = (7, -1). A norma L1 é a soma dos valores absolutos dos componentes, ∣7∣+∣−1∣=8|7| + |-1| = 8, e a norma L2 é a raiz quadrada da soma dos quadrados, 72+(−1)2=49+1=50=52\sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.

Para encontrar os autovalores de uma matriz quadrada 2×22 \times 2, utilizamos o polinômio característico:

det⁡[3−λ443−λ]=(3−λ)2−16=0\det \begin{bmatrix} 3-\lambda & 4 \\ 4 & 3-\lambda \end{bmatrix} = (3-\lambda)^2 - 16 = 0

Expandindo a equação:

λ2−6λ+9−16=0  ⟹  λ2−6λ−7=0\lambda^2 - 6\lambda + 9 - 16 = 0 \implies \lambda^2 - 6\lambda - 7 = 0

Fatorando a equação quadrática (λ−7)(λ+1)=0(\lambda - 7)(\lambda + 1) = 0, obtemos os autovalores λ1=7\lambda_1 = 7 e λ2=−1\lambda_2 = -1. Com o vetor v=(7,−1)v = (7, -1), calculamos as normas solicitadas:

Norma L1

A norma L1 (ou norma de Manhattan) de um vetor v=(x1,x2)v = (x_1, x_2) é definida como ∥v∥1=∣x1∣+∣x2∣\|v\|_1 = |x_1| + |x_2|.

∥v∥1=∣7∣+∣−1∣=7+1=8\|v\|_1 = |7| + |-1| = 7 + 1 = 8

Norma L2

A norma L2 (ou norma Euclidiana) de um vetor v=(x1,x2)v = (x_1, x_2) é definida como ∥v∥2=x12+x22\|v\|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}.

∥v∥2=72+(−1)2=49+1=50=25⋅2=52\|v\|_2 = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}
PEGA ESSA DICA!

Em matrizes simétricas como a dada, os autovalores são sempre reais. Lembre-se que a norma L2 é a distância do ponto à origem no plano cartesiano, enquanto a L1 representa a soma das distâncias ortogonais.

Gabarito: letra D.

Link permanente: /questoes/fg084628