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Questão de Matemática — Álgebra Linear — FGV 2024

MatemáticaÁlgebra Linear
Código
fg084629
Banca
FGV
Órgão
EPE
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Analista de Gestão Corporativa - Tecnologia da Informação (Ciência de Dados)
Mapeamentos e transformações lineares são frequentemente utilizados em técnicas de aprendizado de máquina relacionadas à redução de dimensionalidade ou à normalização.Considerando o mapeamento linear F: ℝ²→ ℝ2 , para o qual F(2,1) = ( √2/2 , ³√2 / 2 ) e F (1, −1) = (√2, 0), analise os itens a seguir.I. F pode ser escrito na forma F(v) = Av, sendo v um vetor coluna bidimensional e Imagem associada para resolução da questãoII. O mapeamento inverso F −¹ pode ser escrito na forma F −1 (v) = Bv, sendo v um vetor coluna bidimensional e B =Imagem associada para resolução da questãoIII. F(F(F(F(x, y)))) = (x, y). Está correto o que se afirma em
  1. AI, apenas.
  2. BII, apenas.
  3. CIII, apenas.
  4. DI e III, apenas.
  5. EII e III, apenas.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — II, apenas.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Álgebra Linear — Transformações Lineares

Gabarito: letra B. Apenas o item II está correto. A matriz AA que representa a transformação linear FF é obtida resolvendo o sistema matricial A⋅V=WA \cdot V = W, onde VV contém os vetores de base transformados e WW as imagens dadas. O item I está incorreto pois a matriz AA fornecida na imagem não satisfaz F(2,1)=A⋅[2,1]TF(2,1) = A \cdot [2, 1]^T. O item II está correto, pois a matriz BB é a inversa de AA, calculada via determinante e matriz adjunta. O item III está incorreto, pois a aplicação sucessiva da transformação FF não resulta na identidade, o que pode ser verificado pelo cálculo de A4≠IA^4 \neq I.

Caso

Premissa testada

Resultado

I

A · [2,1]ᵀ = F(2,1)

Falso

II

B = A⁻¹

Verdadeiro

III

A⁴ = I

Falso

Item I — ❌ Incorreto

Para verificar se a matriz AA representa FF, calculamos A⋅[2,1]TA \cdot [2, 1]^T:

[2223220]⋅[21]=[2+232+0]=[2232]\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \sqrt{2} \\ \frac{3\sqrt{2}}{2} & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{2} + \sqrt{2} \\ 3\sqrt{2} + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\sqrt{2} \\ 3\sqrt{2} \end{bmatrix}

Como o resultado é diferente de F(2,1)=(22,232)F(2,1) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt[3]{2}}{2}), a matriz AA está incorreta.

Item II — ✅ Correto ⟵ GABARITO

O mapeamento inverso F−1F^{-1} é representado pela matriz inversa A−1A^{-1}. Dada a matriz correta AA (obtida de A⋅[2,1]T=[22,232]TA \cdot [2, 1]^T = [\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt[3]{2}}{2}]^T e A⋅[1,−1]T=[2,0]TA \cdot [1, -1]^T = [\sqrt{2}, 0]^T), a matriz BB apresentada na imagem corresponde à inversa da transformação, permitindo retornar ao vetor original.

Item III — ❌ Incorreto

A afirmação sugere que F4=IF^4 = I, ou seja, A4=IA^4 = I. Como AA não é uma matriz de rotação simples de 90∘90^\circ (que satisfaria A4=IA^4 = I), a aplicação quádrupla não resulta na identidade. A transformação dada possui autovalores e propriedades que não levam ao ciclo de período 4.

Conclusão: Apenas o item II é verdadeiro, portanto a alternativa correta é a letra B.

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