Questão de Matemática — Matrizes — FGV 2024

Vetores e Matrizes: Produto Escalar, Produto Vetorial e Multiplicação por Escalar

Gabarito: letra E. A expressão que resulta no vetor pedido é $A(\mathbf{v} \times \mathbf{u})\mathbf{u}^T\mathbf{v}$, pois o produto escalar $\mathbf{u}^T\mathbf{v}$ é um número (escalar) que multiplica o vetor resultante do produto vetorial $\mathbf{v} \times \mathbf{u}$, e a matriz $A$ aplicada a esse vetor produz o vetor final. A chave está em reconhecer que $\mathbf{u}^T\mathbf{v}$ é um escalar e que a ordem das operações (produto vetorial, multiplicação por escalar e multiplicação por matriz) segue a notação padrão da álgebra linear.

Para resolver esta questão, precisamos dominar três operações fundamentais da álgebra linear: o produto escalar (ou interno), o produto vetorial e a multiplicação de matriz por vetor. Vamos revisar cada uma delas com profundidade, pois a banca explora exatamente a confusão entre elas.

O produto escalar entre dois vetores coluna $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$ de mesma dimensão é definido como a soma dos produtos de suas componentes correspondentes. Em notação matricial, se $\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)^T$ e $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)^T$, então $\mathbf{u}^T \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$. O resultado é um escalar (um número real), não um vetor. É crucial entender que $\mathbf{u}^T \mathbf{v}$ (com a transposta do primeiro) é um número, enquanto $\mathbf{u} \mathbf{v}^T$ seria uma matriz $3 \times 3$ (produto externo).

O produto vetorial entre dois vetores tridimensionais $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$ resulta em um novo vetor que é ortogonal a ambos. Se $\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)$ e $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)$, então $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1)$. Note que o produto vetorial não é comutativo: $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = -(\mathbf{v} \times \mathbf{u})$. Essa propriedade é frequentemente explorada em questões para inverter a ordem e testar a atenção do candidato.

A multiplicação de uma matriz por um vetor segue a regra usual de multiplicação de matrizes: se $A$ é uma matriz $3 \times 3$ e $\mathbf{x}$ é um vetor coluna $3 \times 1$, então $A\mathbf{x}$ é um vetor coluna $3 \times 1$, onde cada componente é o produto escalar da linha correspondente de $A$ com $\mathbf{x}$.

Agora, vamos analisar a expressão da alternativa E: $A(\mathbf{v} \times \mathbf{u})\mathbf{u}^T\mathbf{v}$. Primeiro, calculamos o produto vetorial $\mathbf{v} \times \mathbf{u}$, que resulta em um vetor coluna. Em seguida, multiplicamos esse vetor pelo escalar $\mathbf{u}^T\mathbf{v}$ (que é um número). O resultado é um vetor coluna. Finalmente, multiplicamos a matriz $A$ por esse vetor, obtendo o vetor final. A ordem das operações é: primeiro o produto vetorial, depois a multiplicação pelo escalar, e por último a multiplicação pela matriz. Isso está de acordo com a notação padrão, onde a multiplicação é associativa e o escalar pode ser movido para qualquer posição.

A pegadinha desta questão está em confundir o produto escalar $\mathbf{u}^T\mathbf{v}$ (que é um escalar) com o produto externo $\mathbf{u}\mathbf{v}^T$ (que é uma matriz). Além disso, a ordem do produto vetorial é importante: $\mathbf{v} \times \mathbf{u}$ é o oposto de $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$. A banca também pode tentar confundir a ordem das operações, colocando a matriz $A$ em posições diferentes ou invertendo a ordem do produto vetorial.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A expressão $A \mathbf{v}^T \mathbf{u} A^T (\mathbf{v} \times \mathbf{u})$ está incorreta porque $\mathbf{v}^T \mathbf{u}$ é um escalar, mas a expressão contém $A^T$ multiplicando o produto vetorial, o que não corresponde à estrutura correta. Além disso, a ordem das operações está errada: a matriz $A$ aparece duas vezes, e a transposta $A^T$ não deveria estar presente. O erro específico é a inclusão de $A^T$ e a dupla multiplicação por $A$, que não resulta no vetor pedido.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A expressão $\mathbf{u}^T \mathbf{v} (\mathbf{u} \times \mathbf{v})^T A$ está incorreta porque o produto vetorial $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ é um vetor, mas a expressão o trata como se fosse uma matriz (com transposta), e a ordem das operações está invertida: a matriz $A$ aparece no final, multiplicando o vetor, mas o produto escalar $\mathbf{u}^T \mathbf{v}$ deveria multiplicar o vetor antes da matriz. Além disso, o produto vetorial está na ordem $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$, que é o oposto do que a alternativa E usa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A expressão $A \mathbf{u}^T \mathbf{v} A (\mathbf{u} \times \mathbf{v})$ está incorreta porque o produto escalar $\mathbf{u}^T \mathbf{v}$ é um escalar, mas a expressão o coloca entre duas matrizes $A$, o que não faz sentido dimensionalmente: $A \mathbf{u}^T \mathbf{v}$ seria um vetor, mas multiplicar por outro $A$ resultaria em um vetor, não no vetor pedido. Além disso, o produto vetorial está na ordem $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$, que é o oposto do que a alternativa E usa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A expressão $A \mathbf{u}^T \mathbf{v} (\mathbf{u} \times \mathbf{v})$ está incorreta porque o produto escalar $\mathbf{u}^T \mathbf{v}$ é um escalar, mas a expressão o coloca entre a matriz $A$ e o produto vetorial, o que não corresponde à estrutura correta. A ordem das operações está errada: o produto vetorial deveria ser calculado antes da multiplicação pelo escalar, e a matriz $A$ deveria ser aplicada ao vetor resultante. Além disso, o produto vetorial está na ordem $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$, que é o oposto do que a alternativa E usa.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A expressão $A(\mathbf{v} \times \mathbf{u})\mathbf{u}^T\mathbf{v}$ está correta porque: primeiro, calculamos o produto vetorial $\mathbf{v} \times \mathbf{u}$, que resulta em um vetor coluna; segundo, multiplicamos esse vetor pelo escalar $\mathbf{u}^T\mathbf{v}$ (que é um número); terceiro, multiplicamos a matriz $A$ por esse vetor, obtendo o vetor final. A ordem das operações está correta e a notação está de acordo com a álgebra linear padrão.

Gabarito: letra E