Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg084631

Derivadas sucessivas de funções exponenciais

Gabarito: letra A. Para $f(x) = e^{-x} + x e^x$ , a derivada de ordem $n$ (com $n$ par) é $f^{(n)}(x) = e^{-x} + (x + n)e^x$ . Isso decorre de duas regras: a derivada de $e^{-x}$ alterna entre $e^{-x}$ e $-e^{-x}$ (e, como $n$ é par, volta a $e^{-x}$ ), e a derivada de $x e^x$ segue o padrão $(x + k)e^x$ , onde $k$ é a ordem da derivada.

Vamos entender o padrão. A função é uma soma de duas parcelas, então derivamos cada uma separadamente (a derivada da soma é a soma das derivadas).

Primeira parcela: $e^{-x}$

$f_1'(x) = -e^{-x}$
$f_1''(x) = e^{-x}$
$f_1'''(x) = -e^{-x}$
$f_1^{(4)}(x) = e^{-x}$

Perceba que a cada duas derivadas o sinal volta ao original. Como $n$ é par, $f_1^{(n)}(x) = e^{-x}$ .

Segunda parcela: $x e^x$

Aqui usamos a regra do produto: $(u v)' = u' v + u v'$ , com $u = x$ e $v = e^x$ .

$f_2'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (x + 1)e^x$
$f_2''(x) = 1 \cdot e^x + (x+1) \cdot e^x = (x + 2)e^x$
$f_2'''(x) = 1 \cdot e^x + (x+2) \cdot e^x = (x + 3)e^x$

O padrão é claro: $f_2^{(k)}(x) = (x + k)e^x$ . Portanto, para a ordem $n$ , temos $f_2^{(n)}(x) = (x + n)e^x$ .

Somando as duas parcelas, obtemos:

f^{(n)}(x) = e^{-x} + (x + n)e^x

que é exatamente a alternativa A.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a resposta correta, pois reproduz exatamente o padrão encontrado: a derivada de ordem $n$ (par) de $e^{-x}$ é $e^{-x}$ , e a de $x e^x$ é $(x + n)e^x$ . A soma das duas parcelas resulta em $e^{-x} + (x + n)e^x$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $(x + n^2)e^x$ no lugar de $(x + n)e^x$ . O expoente $n^2$ não aparece no padrão de derivação de $x e^x$ ; o termo que se soma a $x$ é exatamente a ordem da derivada, $n$ , e não o seu quadrado. A banca tenta confundir quem decora a fórmula sem entender o processo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Troca $n$ por $2n$ no termo $(x + 2n)e^x$ . O padrão é $(x + k)e^x$ , onde $k$ é a ordem da derivada. Para a ordem $n$ , o termo é $(x + n)$ , não $(x + 2n)$ . O fator $2$ não tem justificativa algébrica aqui.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $(xn + n)e^x$ , que é uma forma fatorada incorreta. O correto é $(x + n)e^x$ , e não $x \cdot n + n$ . A banca tenta confundir com uma fatoração que não corresponde ao padrão.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Troca o primeiro termo por $e^{-nx}$ . A derivada de $e^{-x}$ não é $e^{-nx}$ ; ela segue o padrão alternado $\pm e^{-x}$ , e como $n$ é par, o resultado é $e^{-x}$ , não $e^{-nx}$ . O expoente $nx$ não aparece em nenhuma etapa da derivação.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o padrão da derivada de $e^{-x}$ (que alterna o sinal a cada derivada) e o padrão de $x e^x$ (que soma a ordem ao $x$ ). Muitos candidatos erram ao calcular a derivada de $e^{-x}$ como se fosse $e^{-x}$ sempre, ou ao aplicar a regra do produto de forma incorreta. Lembre-se: para $n$ par, $e^{-x}$ volta ao original, e o termo que acompanha $x$ é exatamente $n$ .

PEGA ESSA DICA!

Para questões de derivadas sucessivas, calcule as primeiras derivadas (1ª, 2ª, 3ª) e identifique o padrão. No caso de $x e^x$ , o padrão é $(x + k)e^x$ ; no caso de $e^{-x}$ , o sinal alterna a cada derivada. Com $n$ par, o sinal é positivo. Esse método evita decorar fórmulas e resolve qualquer ordem.

Gabarito: letra A.