Questão de Matemática — Limite — FGV 2024

Matemática — Limites no Infinito

Gabarito: letra C. O limite de uma função racional quando $n \to \infty$ é determinado pela razão entre os termos de maior grau do numerador e do denominador. No caso, temos $\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 3}{\sqrt{2n^2 - 6}}$. Ao simplificar a expressão, o termo dominante no numerador é $2n$ e no denominador é $\sqrt{2n^2} = n\sqrt{2}$. A razão entre eles resulta em $\frac{2n}{n\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$, que é equivalente a $2^{0,5}$.

Para resolver formalmente, dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de $n$ presente no denominador, que é $n^1$ (já que $\sqrt{n^2} = n$):

À medida que $n \to \infty$, os termos $\frac{3}{n}$ e $\frac{6}{n^2}$ tendem a zero. Portanto, o limite é:

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $1/2^{0,5}$ (ou $1/\sqrt{2}$) é o inverso do resultado correto. O erro ocorre ao inverter a razão dos coeficientes dominantes.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 2 não considera a raiz quadrada presente no denominador, que reduz o grau efetivo da expressão.

Alternativa C — ✅ Correta

Corresponde ao valor exato de $\sqrt{2}$, obtido pela simplificação dos termos de maior grau da função.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 0,5 é uma confusão comum com o expoente da raiz, não representando o resultado do limite.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O limite não é zero, pois o grau do numerador e do denominador são iguais (ambos de grau 1), o que resulta em um valor constante finito e não nulo.