Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg084639

Teste de hipóteses para a média: escolha da hipótese alternativa

Gabarito: letra A. A hipótese alternativa mais adequada é $H_A: \mu < 720$ , pois o fabricante afirma que a média é 720 dias, mas a amostra apresentou média 700 dias, sugerindo que a média real pode ser inferior ao valor alegado. O teste deve ser unilateral à esquerda, com $H_0: \mu = 720$ e $H_A: \mu < 720$ .

Em um teste de hipóteses, a hipótese nula ( $H_0$ ) representa a afirmação que se deseja testar (no caso, a do fabricante: $\mu = 720$ ), e a hipótese alternativa ( $H_A$ ) representa o que se suspeita ser verdadeiro, com base na evidência amostral. A escolha entre teste unilateral ou bilateral depende da direção da suspeita levantada pelos dados ou pelo contexto do problema.

Aqui, a média amostral (700) é menor que o valor alegado (720). Isso indica que, se a afirmação do fabricante estiver errada, o erro provável é que a média real seja menor que 720 — não simplesmente diferente, nem maior. Portanto, o teste mais poderoso e adequado é o unilateral à esquerda, concentrando a região de rejeição apenas em valores muito baixos da estatística de teste.

A potência do teste (probabilidade de rejeitar $H_0$ quando ela é falsa) é maior quando a hipótese alternativa é direcional e coincide com a direção real do desvio. Usar um teste bilateral ( $\mu \neq 720$ ) ou unilateral à direita ( $\mu > 720$ ) reduziria a potência para detectar uma média menor, pois dividiria a região de rejeição ou a colocaria no lado errado.

Hipótese Alternativa	Direção do Teste	Valor de Referência	Adequação à Evidência (média amostral 700 < 720)	Potência do Teste
$A) (H_A: \mu < 720)$	Unilateral à esquerda	720 (valor sob (H_0))	✅ Coerente — detecta média menor	✅ Máxima (concentra rejeição na cauda esquerda)
$B) (H_A: \mu \neq 720)$	Bilateral	720 (valor sob (H_0))	⚠️ Parcial — detecta qualquer diferença, mas sem direção	❌ Reduzida (divide a região de rejeição)
$C) (H_A: \mu > 720)$	Unilateral à direita	720 (valor sob (H_0))	❌ Contradiz — testa média maior, mas amostra é menor	❌ Mínima (região de rejeição no lado errado)
$D) (H_A: \mu < 700)$	Unilateral à esquerda	700 (média amostral, não o parâmetro)	❌ Incorreta — referência errada (não é o valor sob (H_0))	❌ Inviável (testa valor amostral, não populacional)
$E) (H_A: \mu \neq 700)$	Bilateral	700 (média amostral, não o parâmetro)	❌ Incorreta — referência errada e sem direção	❌ Inviável (testa valor amostral, não populacional)

H0 verdadeira

H0 falsa

Rejeita

Erro tipo I

Correto

Não rejeita

Correto

Erro tipo II

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Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A hipótese alternativa $H_A: \mu < 720$ é a mais adequada. O fabricante afirma $\mu = 720$ ; a amostra sugere que a média real pode ser menor (700 < 720). O teste unilateral à esquerda é o que maximiza a potência para detectar essa redução, pois toda a região de rejeição fica concentrada em valores baixos da estatística de teste.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$H_A: \mu \neq 720$ (teste bilateral) é menos adequado porque não aproveita a informação direcional da amostra. Embora seja válido para detectar qualquer diferença, ele divide a região de rejeição entre as duas caudas, reduzindo a potência para detectar especificamente uma média menor. Como a suspeita é claramente de que a média é inferior, o teste unilateral à esquerda é preferível.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$H_A: \mu > 720$ (teste unilateral à direita) é inadequado, pois a média amostral (700) é menor que 720, não maior. Essa hipótese testaria se a média é superior ao valor alegado, o que contraria a evidência amostral. Usá-la seria um erro de direção, reduzindo drasticamente a potência para detectar o desvio real.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$H_A: \mu < 700$ é incorreta porque a hipótese alternativa deve ser formulada em relação ao valor alegado na hipótese nula (720), não em relação à média amostral (700). A média amostral é uma estimativa pontual, não um parâmetro a ser testado. O teste deve comparar a média populacional com o valor de referência 720.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$H_A: \mu \neq 700$ também é incorreta, pois o valor de referência para o teste é o alegado pelo fabricante (720), não a média amostral (700). Além disso, seria um teste bilateral, o que não aproveita a direção da suspeita (média menor). A hipótese alternativa deve ser formulada em relação ao parâmetro populacional $\mu$ e ao valor sob $H_0$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato ao colocar a média amostral (700) como valor de referência nas alternativas D e E. Lembre-se: a hipótese alternativa é sempre formulada em relação ao valor alegado na hipótese nula (720), nunca em relação à estatística amostral. Além disso, a direção do teste deve seguir a evidência: se a amostra está abaixo do valor alegado, o teste é unilateral à esquerda ( $<$ ).

PEGA ESSA DICA!

Para escolher a hipótese alternativa, pergunte-se: "O que os dados sugerem?" Se a média amostral é menor que o valor de referência, use $H_A: \mu < \mu_0$ ; se é maior, use $H_A: \mu > \mu_0$ ; se não há direção clara, use $H_A: \mu \neq \mu_0$ . O valor de referência é sempre o da hipótese nula, nunca a média amostral.

Gabarito: letra A.