Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2024

Probabilidade de recebimento correto em canal binário com ruído

Gabarito: letra C. A probabilidade de um símbolo escolhido aleatoriamente ser recebido corretamente é 0,930, obtida pela soma das probabilidades de transmitir 0 e receber 0 corretamente com transmitir 1 e receber 1 corretamente: $P(\text{correto}) = P(0) \cdot P(\text{correto}|0) + P(1) \cdot P(\text{correto}|1) = 0{,}4 \times 0{,}90 + 0{,}6 \times 0{,}95 = 0{,}930$.

O problema envolve probabilidade total, um conceito fundamental do cálculo de probabilidades. Temos um canal binário com ruído: quando o símbolo 0 é transmitido, ele é recebido incorretamente com probabilidade 0,10 (logo, corretamente com 0,90); quando o símbolo 1 é transmitido, é recebido incorretamente com probabilidade 0,05 (logo, corretamente com 0,95). Além disso, a probabilidade de o canal transmitir 0 é 0,4, o que implica que a probabilidade de transmitir 1 é $1 - 0{,}4 = 0{,}6$.

A probabilidade de recebimento correto é a soma das probabilidades dos dois caminhos que levam ao sucesso: transmitir 0 e receber 0 corretamente, ou transmitir 1 e receber 1 corretamente. Isso é exatamente o teorema da probabilidade total, aplicado à partição do espaço amostral em "transmitiu 0" e "transmitiu 1".

A pegadinha clássica da banca é inverter as probabilidades de erro e acerto, ou esquecer de considerar a probabilidade de transmissão de cada símbolo (0,4 e 0,6). Muitos candidatos calculam apenas a média simples das probabilidades de acerto, obtendo $\frac{0{,}90 + 0{,}95}{2} = 0{,}925$ (alternativa D), o que está errado porque os símbolos não são igualmente prováveis.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,950 corresponde à probabilidade de recebimento correto quando o símbolo 1 é transmitido (0,95), mas desconsidera a probabilidade de transmissão de cada símbolo e o caso do símbolo 0. Não é a probabilidade total de acerto.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 0,945 não corresponde a nenhuma combinação direta dos dados. Poderia surgir de um cálculo equivocado, como $0{,}4 \times 0{,}95 + 0{,}6 \times 0{,}90 = 0{,}38 + 0{,}54 = 0{,}92$ (não é 0,945), ou de uma média ponderada incorreta. Não há fundamento nos dados do enunciado.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando corretamente a probabilidade total:

$P(\text{correto}) = P(0) \cdot P(\text{correto}|0) + P(1) \cdot P(\text{correto}|1)$

$= 0{,}4 \times 0{,}90 + 0{,}6 \times 0{,}95 = 0{,}36 + 0{,}57 = 0{,}930$

Portanto, a probabilidade de um símbolo escolhido aleatoriamente ser recebido corretamente é 0,930.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 0,925 é a média aritmética simples das probabilidades de acerto condicionadas a cada símbolo: $\frac{0{,}90 + 0{,}95}{2} = 0{,}925$. Esse cálculo ignora que a probabilidade de transmitir 0 é 0,4 e a de transmitir 1 é 0,6 — ou seja, os símbolos não são igualmente prováveis. A média ponderada correta é 0,930.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 0,900 corresponde à probabilidade de recebimento correto quando o símbolo 0 é transmitido (0,90), mas desconsidera a probabilidade de transmissão de cada símbolo e o caso do símbolo 1. Não é a probabilidade total de acerto.

Gabarito: letra C.