Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FGV 2024

Análise Combinatória: arranjo, permutação e combinação

Gabarito: letra C — a sequência correta é V – F – V: a primeira afirmativa é verdadeira (arranjo de 20 tomados 2 a 2 = 380), a segunda é falsa (permutação de 6 = 720, não 550) e a terceira é verdadeira (combinação de 10 tomados 3 a 3 = 120).

A análise combinatória é a parte da matemática que estuda técnicas de contagem. Para resolver questões como esta, o ponto central é identificar quando a ordem importa e quando não importa, pois isso define qual ferramenta usar: arranjo, permutação ou combinação.

• Arranjo simples ($A_{n,p}$): a ordem dos elementos escolhidos importa. Usamos quando escolhemos $p$ elementos de um total de $n$, e cada escolha é uma sequência ordenada. A fórmula é $A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!}$.

• Permutação simples ($P_n$): é um caso particular de arranjo em que todos os $n$ elementos são ordenados. A fórmula é $P_n = n!$.

• Combinação simples ($C_{n,p}$): a ordem dos elementos escolhidos não importa. Usamos quando escolhemos $p$ elementos de um total de $n$ para formar um grupo. A fórmula é $C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$.

A pegadinha clássica da banca é trocar o conceito: aplicar combinação onde a ordem importa (ou vice-versa), ou usar permutação quando o problema é de arranjo. Nesta questão, a segunda afirmativa é o distrator: o número 550 não corresponde a nenhuma contagem correta — o valor certo é 720 (6!).

Afirmativa 1 — ✅ Verdadeira

A primeira afirmativa é verdadeira. Temos 20 alunos e precisamos escolher um representante e um vice-representante. Como o mais votado será o representante e o segundo mais votado o vice, a ordem importa: escolher João como representante e Maria como vice é diferente de escolher Maria como representante e João como vice. Portanto, usamos arranjo simples: $A_{20,2} = 20 \times 19 = 380$. O valor 380 confere exatamente com o enunciado.

Afirmativa 2 — ❌ Falsa

A segunda afirmativa é falsa. Temos 6 pessoas para se sentar em 6 lugares, ou seja, precisamos ordenar todas as 6 pessoas. Isso é uma permutação simples: $P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$. O valor correto é 720, não 550. O número 550 não corresponde a nenhuma contagem combinatória óbvia — é um distrator puro.

Afirmativa 3 — ✅ Verdadeira

A terceira afirmativa é verdadeira. Temos 10 pessoas e precisamos escolher 3 para formar uma comissão. Como a ordem dos membros da comissão não importa (escolher João, Maria e Pedro é o mesmo que escolher Pedro, Maria e João), usamos combinação simples: $C_{10,3} = \frac{10!}{3! \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$. O valor 120 confere com o enunciado.

Gabarito: letra C — sequência V – F – V.