Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — FGV 2024

Análise exploratória de dados: curtose, correlação e dispersão

Gabarito: letra A — apenas o item I está correto. O coeficiente de curtose é uma medida adimensional que, em sua forma mais comum (coeficiente percentílico), depende da diferença entre os percentis de ordem 90 e 10. O item II é falso porque correlação nula não implica independência (apenas ausência de relação linear). O item III é falso porque o desvio padrão é uma medida de dispersão absoluta que depende da unidade e da escala dos dados, não sendo adequado para comparar a dispersão relativa entre conjuntos com médias ou unidades diferentes — para isso usa-se o coeficiente de variação.

A análise exploratória de dados (AED) é a etapa inicial da estatística que busca descrever e sintetizar as características principais de um conjunto de dados por meio de tabelas, gráficos e medidas-resumo, sem fazer inferências sobre a população. Dentro dela, as medidas de forma (assimetria e curtose) caracterizam o formato da distribuição dos dados em torno da média. A curtose mede o grau de achatamento ou alongamento da distribuição em relação à distribuição normal. Existem várias formas de calculá-la: o coeficiente percentílico (baseado em percentis) e o coeficiente de Fisher (baseado em momentos). O item I refere-se ao coeficiente percentílico, que é adimensional e definido como uma razão envolvendo a diferença entre os percentis 90 e 10 (amplitude interdecil) e a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil (distância interquartil).

A correlação mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. O coeficiente de correlação de Pearson varia entre -1 e 1. Quando é nulo, significa que não há relação linear entre as variáveis, mas pode existir uma relação não linear (por exemplo, uma relação quadrática). Portanto, correlação nula não implica independência. A independência é um conceito mais forte: duas variáveis são independentes se o conhecimento de uma não fornece nenhuma informação sobre a outra, o que implica correlação nula, mas a recíproca não é verdadeira.

A dispersão de um conjunto de dados pode ser medida de várias formas: amplitude, desvio médio, variância, desvio padrão e coeficiente de variação. O desvio padrão é uma medida de dispersão absoluta, expressa na mesma unidade dos dados. Comparar desvios padrão de conjuntos com unidades ou escalas diferentes não é adequado. Por exemplo, um conjunto de dados em metros pode ter desvio padrão 2, enquanto outro em centímetros pode ter desvio padrão 50, mas a dispersão relativa pode ser a mesma. Para comparar a dispersão relativa entre conjuntos, utiliza-se o coeficiente de variação (desvio padrão dividido pela média), que é adimensional.

Item I — ✅ Correto

O coeficiente de curtose percentílico é definido como:

ou, em algumas formulações, como uma razão envolvendo a diferença entre os percentis 90 e 10. Essa medida é adimensional, pois é uma razão de diferenças de valores na mesma unidade, e depende explicitamente dos percentis de ordem 90 e 10. Portanto, o item está correto.

Item II — ❌ Incorreto

Correlação nula entre duas variáveis aleatórias indica ausência de relação linear, mas não implica independência. Por exemplo, se $Y = X^2$ com $X$ simétrico em torno de zero, a correlação entre $X$ e $Y$ pode ser zero, mas as variáveis são claramente dependentes. A independência é uma condição mais forte: se duas variáveis são independentes, então a correlação é nula, mas a recíproca não vale. Portanto, o item é falso.

Item III — ❌ Incorreto

O desvio padrão é uma medida de dispersão absoluta. Afirmar que um conjunto com maior desvio padrão possui maior dispersão é verdadeiro apenas se os conjuntos forem comparáveis em termos de unidade e escala. Para comparar a dispersão relativa entre conjuntos com médias ou unidades diferentes, deve-se usar o coeficiente de variação (CV = desvio padrão / média). Por exemplo, um conjunto com média 100 e desvio padrão 10 tem CV = 10%, enquanto um conjunto com média 10 e desvio padrão 5 tem CV = 50% — o segundo tem maior dispersão relativa, apesar de ter menor desvio padrão. Portanto, a afirmação é falsa.

Gabarito: letra A — apenas o item I está correto.