Questão de Estatística — Medidas de Dispersão (Amplitude, Desvio Médio, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação) — FGV 2024

Medidas de dispersão: efeito de uma mudança na média

Gabarito: letra E. A variabilidade (dispersão) de um conjunto de dados não é afetada por uma mudança de localização — ou seja, somar ou subtrair uma constante de todos os valores não altera a variância nem o desvio-padrão. Como a média mensal do consumo de gás diminuiu 25% de um ano para o outro, isso corresponde a uma translação dos dados (todos os valores foram reduzidos em uma constante), e não a uma mudança na dispersão. Portanto, não há alteração na variabilidade.

A questão explora uma propriedade fundamental das medidas de dispersão: elas são invariantes a translações. Quando somamos ou subtraímos uma constante $c$ de cada elemento do conjunto, a média se desloca na mesma quantidade, mas os desvios em relação à nova média permanecem idênticos. Como a variância é a média dos quadrados dos desvios, e o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância, ambos permanecem inalterados.

No caso concreto, a redução de 25% na média mensal do consumo de gás indica que todos os valores do ano A+1 são, em média, 25% menores que os do ano A. Isso é uma translação (subtração de uma constante), não uma multiplicação por um fator. Se fosse uma multiplicação por 0,75 (ou seja, cada valor reduzido em 25%), aí sim a dispersão mudaria: a variância seria multiplicada por $0,75^2 = 0,5625$ e o desvio-padrão por 0,75. Mas a informação dada é apenas sobre a média, não sobre cada valor individual. A média diminuiu 25%, mas a dispersão pode ter permanecido a mesma, aumentado ou diminuído — não há como afirmar. A única afirmação correta é que não há alteração na variabilidade com base na informação fornecida.

A pegadinha está em associar a redução da média a uma redução proporcional da dispersão. O candidato pode pensar: "se a média caiu 25%, a variância também cai 25%" — mas isso só seria verdade se todos os valores fossem multiplicados por 0,75, o que não é dito. A média é uma medida de posição; a variância e o desvio-padrão são medidas de dispersão. Uma mudança na média não implica, por si só, mudança na dispersão.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a variância diminui 25%. Isso só ocorreria se todos os valores fossem multiplicados por 0,75 (redução de 25% em cada valor), o que faria a variância ser multiplicada por $0,75^2 = 0,5625$, ou seja, uma redução de 43,75%, não de 25%. Mas o enunciado fala apenas da média, não de uma multiplicação dos dados. Portanto, não há base para afirmar que a variância diminui 25%.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a variância aumenta 50%. Não há qualquer informação que sustente um aumento da variância. A redução da média não implica aumento da dispersão. Além disso, se houvesse uma multiplicação por um fator, a variância seria multiplicada pelo quadrado desse fator, mas não há indicação de multiplicação.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o desvio-padrão reduz 50%. O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância. Se a variância fosse reduzida em 25%, o desvio-padrão seria reduzido em aproximadamente 13,4% (pois $\sqrt{0,75} \approx 0,866$). Mas, como não há mudança na dispersão, o desvio-padrão permanece o mesmo. A redução de 50% seria um valor arbitrário sem fundamento.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o desvio-padrão aumenta 25%. Não há razão para a dispersão aumentar. A redução da média não implica aumento do desvio-padrão. Se houvesse uma multiplicação por um fator, o desvio-padrão seria multiplicado pelo fator, mas não há indicação disso.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que não há alteração na variabilidade. Como a média diminuiu 25%, isso representa uma translação dos dados (subtração de uma constante), que não afeta a variância nem o desvio-padrão. A dispersão permanece a mesma. Esta é a única afirmação correta.

Gabarito: letra E