Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg085135

Função exponencial aplicada à depreciação de ativos

Gabarito: letra C — as afirmativas são, respectivamente, V – F – V: o valor atual é R$ 600.000, a perda na primeira década é de R$ 60.000 (e não R$ 80.000), e o tempo mínimo para o ativo valer R$ 450.000 é de 30 anos. A resolução usa a função exponencial $v(t) = 600.000 \cdot 0{,}9^t$ e propriedades de logaritmos.

A questão mistura dois temas: a avaliação de uma função exponencial em pontos específicos e a resolução de uma equação exponencial com auxílio de logaritmos. Vamos por partes.

A função e o valor atual

A função dada é $v(t) = 600.000 \cdot 0{,}9^t$ , em que $t$ é medido em décadas. O valor atual corresponde a $t = 0$ :

v(0) = 600.000 \cdot 0{,}9^0 = 600.000 \cdot 1 = 600.000

Portanto, a primeira afirmativa é verdadeira.

A perda na primeira década

Na primeira década, $t = 1$ :

v(1) = 600.000 \cdot 0{,}9 = 540.000

A perda é a diferença entre o valor atual e o valor após uma década:

600.000 - 540.000 = 60.000

Ou seja, a perda é de R$ 60.000, e não R$ 80.000. A segunda afirmativa é falsa.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato fazendo-o calcular 10% de 600.000 (que é 60.000) e depois “arredondar” ou trocar por 80.000. Mas a perda é exatamente 10% do valor inicial, pois o fator é 0,9 (ou seja, o ativo retém 90% do valor a cada década). Não há nenhuma outra taxa envolvida.

O tempo para o valor chegar a R$ 450.000

Queremos encontrar $t$ tal que $v(t) = 450.000$ :

600.000 \cdot 0{,}9^t = 450.000

Dividindo ambos os lados por 600.000:

0{,}9^t = \frac{450.000}{600.000} = 0{,}75

Aplicando logaritmo nos dois lados:

\log(0{,}9^t) = \log(0{,}75)

Usando a propriedade do logaritmo da potência:

t \cdot \log(0{,}9) = \log(0{,}75)

Agora, precisamos expressar $\log(0{,}9)$ e $\log(0{,}75)$ em função de $\log 2$ e $\log 3$ fornecidos:

$0{,}9 = \frac{9}{10} = \frac{3^2}{10}$ → $\log(0{,}9) = 2\log 3 - \log 10 = 2 \cdot 0{,}48 - 1 = 0{,}96 - 1 = -0{,}04$
$0{,}75 = \frac{3}{4} = \frac{3}{2^2}$ → $\log(0{,}75) = \log 3 - 2\log 2 = 0{,}48 - 2 \cdot 0{,}30 = 0{,}48 - 0{,}60 = -0{,}12$

Substituindo:

t \cdot (-0{,}04) = -0{,}12 \Rightarrow t = \frac{-0{,}12}{-0{,}04} = 3

Portanto, $t = 3$ décadas, ou seja, 30 anos. A terceira afirmativa é verdadeira.

Afirmativa	Cálculo	Valor encontrado	Afirmativa do enunciado	Veredito
1ª: valor atual	$(v(0) = 600.000 \cdot 0{,}9^0 = 600.000)$	R$ 600.000	R$ 600.000	V
2ª: perda na 1ª década	$(v(1) = 600.000 \cdot 0{,}9 = 540.000)<br>(600.000 - 540.000 = 60.000)$	R$ 60.000	R$ 80.000	F
3ª: tempo para R$ 450.000	(0{,}9^t = 0{,}75)<br> $t \cdot (-0{,}04) = -0{,}12$ <br>(t = 3) décadas	3 décadas = 30 anos	30 anos	V

Análise das afirmativas

1ª afirmativa — ✅ Verdadeira

O valor atual é $v(0) = 600.000 \cdot 0{,}9^0 = 600.000$ . Correta.

2ª afirmativa — ❌ Falsa

A perda na primeira década é $600.000 - 540.000 = 60.000$ , e não R$ 80.000. Incorreta.

3ª afirmativa — ✅ Verdadeira

O tempo mínimo para o valor ser R$ 450.000 é de 3 décadas = 30 anos. Correta.

Conclusão

Sequência correta: V – F – V, correspondente à letra C.

Gabarito: letra C