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Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FGV 2024

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
fg085137
Banca
FGV
Órgão
EPE
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Analista de Pesquisa Energética (Petróleo - Exploração e Produção)
Em uma rua de comércio varejista, quatro lojas localizadas lado a lado resolveram pintar as fachadas para atrair a atenção dos clientes. As opções de cores disponíveis eram azul, verde, laranja e vermelho, de maneira que cada loja tivesse uma cor diferente.Sobre a hipótese apresentada, analise as afirmativas a seguir e assinale (V) para a verdadeira e (F) para a falsa.( ) Considerando que a fachada da última loja seja pintada de azul, existem seis possibilidades diferentes de escolher as cores para pintar as fachadas das três outras lojas.( ) Existem doze possibilidades diferentes de escolher as cores para pintar as fachadas das quatro lojas.( ) Após uma conversa, os lojistas decidiram que as fachadas de duas lojas poderiam ser pintadas de vermelho e as fachadas das duas outras lojas deveriam ser pintadas de azul e verde. Existem doze possibilidades diferentes de escolher as cores para pintar as quatro lojas.As afirmativas são, respectivamente,
  1. AV – F – F.
  2. BV – V – V.
  3. CF – V – V.
  4. DV – F – V.
  5. EF – F – V.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — V – F – V.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Análise Combinatória: princípio fundamental da contagem

Gabarito: letra D — as afirmativas são, respectivamente, V – F – V. A primeira é verdadeira (fixada a cor da última loja, restam 3 cores para 3 lojas, o que dá 3! = 6 possibilidades); a segunda é falsa (o total de maneiras de pintar 4 lojas com 4 cores distintas é 4! = 24, não 12); a terceira é verdadeira (escolher 2 lojas entre 4 para pintar de vermelho, e as outras 2 recebem azul e verde de 2! maneiras, totalizando 12).

A questão cobra o princípio fundamental da contagem (PFC), também chamado de princípio multiplicativo. A ideia central é: se uma decisão pode ser tomada de n1n_1 maneiras, uma segunda de n2n_2 maneiras, e assim por diante, o número total de maneiras de tomar todas as decisões em sequência é o produto n1×n2×⋯×nkn_1 \times n_2 \times \dots \times n_k. Esse princípio é a base de toda a análise combinatória e resolve a maioria dos problemas de contagem sem precisar decorar fórmulas de arranjo ou permutação.

No caso das lojas, temos 4 lojas distintas (posições fixas) e 4 cores distintas (azul, verde, laranja, vermelho), com a condição de que cada loja tenha uma cor diferente. Isso configura uma permutação simples das 4 cores entre as 4 lojas, cujo total é 4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24. A pegadinha da segunda afirmativa está em apresentar o número 12, que não corresponde a nenhuma contagem direta do problema — é um distrator para quem confunde o total de permutações com a metade dele.

Afirmativa

Cálculo

Resultado

1ª (última loja azul)

3! = 3 × 2 × 1 = 6

V

2ª (total de pinturas)

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 ≠ 12

F

3ª (2 vermelhas + azul e verde)

C(4,2) × 2! = 6 × 2 = 12

V

Afirmativa 1 — ✅ Verdadeira

Fixada a cor da última loja (azul), restam 3 cores (verde, laranja, vermelho) para as 3 outras lojas. Como cada loja deve ter cor diferente, o número de maneiras de distribuir essas 3 cores entre as 3 lojas é a permutação de 3 elementos: 3!=3×2×1=63! = 3 \times 2 \times 1 = 6. Portanto, a afirmativa está correta.

Afirmativa 2 — ❌ Falsa

O total de maneiras de pintar as 4 lojas com 4 cores distintas é a permutação de 4 elementos: 4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24, e não 12. O número 12 é um distrator: corresponde, por exemplo, a 4×34 \times 3 (escolher a cor da primeira e da segunda loja, ignorando as demais) ou a 4!2\frac{4!}{2}, mas não representa a contagem correta do problema.

Afirmativa 3 — ✅ Verdadeira

Aqui, duas lojas devem ser pintadas de vermelho e as outras duas de azul e verde. Primeiro, escolhemos quais 2 das 4 lojas serão vermelhas: isso é uma combinação C4,2=4!2!⋅2!=6C_{4,2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6. Para as 2 lojas restantes, temos 2 cores (azul e verde) para distribuir entre elas, o que pode ser feito de 2!=22! = 2 maneiras. Pelo princípio multiplicativo, o total é 6×2=126 \times 2 = 12. Portanto, a afirmativa está correta.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre permutação e combinação. Na segunda afirmativa, o candidato pode pensar que o total é 4×3=124 \times 3 = 12 (esquecendo que as outras duas lojas também têm opções), quando na verdade é 4!=244! = 24. Já na terceira, é preciso perceber que a escolha das lojas vermelhas é uma combinação (a ordem não importa), e a distribuição das cores restantes é uma permutação. Fique atento: quando a ordem importa, use permutação; quando não importa, use combinação.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver problemas de contagem, identifique se a ordem dos elementos importa. Se importa, use o princípio multiplicativo diretamente (preenchendo posições). Se não importa, use combinação. Pratique com questões que envolvem escolha de posições e distribuição de objetos distintos — esse é o padrão mais cobrado em concursos.

Gabarito: letra D — V – F – V.

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