Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg085216

Teorema de Bayes: probabilidade a posteriori

Gabarito: letra D. A probabilidade de o sistema ter sido operado manualmente, dado que houve erro, é de aproximadamente 0,68. Isso é obtido pelo Teorema de Bayes: $P(M|E) = \frac{P(E|M) \cdot P(M)}{P(E)}$ , onde $P(E) = P(E|M) \cdot P(M) + P(E|A) \cdot P(A)$ .

O Teorema de Bayes é a ferramenta para revisar probabilidades quando chega uma informação nova. Aqui, a informação nova é: o sistema teve erro. Antes de saber disso, a probabilidade de o sistema ser manual era 0,3 (probabilidade a priori). Depois de saber que houve erro, queremos a probabilidade a posteriori de ter sido manual — e ela muda porque a chance de erro é diferente nos dois modos de operação.

Vamos organizar os dados:

$P(M) = 0,3$ (probabilidade de operação manual)
$P(A) = 1 - 0,3 = 0,7$ (probabilidade de operação automática)
$P(E|M) = 0,05$ (probabilidade de erro dado manual)
$P(E|A) = 0,01$ (probabilidade de erro dado automático)

Primeiro, calculamos a probabilidade total de erro, $P(E)$ , usando o teorema da probabilidade total:

P(E) = P(E|M) \cdot P(M) + P(E|A) \cdot P(A)

P(E) = 0,05 \times 0,3 + 0,01 \times 0,7 = 0,015 + 0,007 = 0,022

Agora aplicamos Bayes:

P(M|E) = \frac{P(E|M) \cdot P(M)}{P(E)} = \frac{0,05 \times 0,3}{0,022} = \frac{0,015}{0,022} \approx 0,6818

Ou seja, aproximadamente 0,68 — alternativa D.

NÃO CAIA NESSA!

A banca não quer que você calcule $P(E|M)$ (que já foi dado: 0,05) — ela quer que você inverta a condição usando Bayes. O candidato apressado pode marcar 0,05 ou tentar uma média simples entre 0,05 e 0,01 (que daria 0,03), mas a chave é perceber que a pergunta é "dado que teve erro, qual a chance de ser manual?" — exatamente o formato de $P(M|E)$ .

1Probabilidade total P(E)
2Numerador P(E|M)·P(M)
3Dividir: P(M|E)

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Alternativa A — ❌ Incorreta

0,21 não corresponde a nenhuma etapa direta do cálculo. É um distrator numérico sem base nos dados — não há combinação simples dos valores fornecidos que resulte nesse número.

Alternativa B — ❌ Incorreta

0,47 também não é resultado de nenhuma operação direta com os dados. Pode confundir quem tenta uma média ponderada errada ou inverte os pesos de forma incorreta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

0,59 é um valor próximo, mas incorreto. Surge se o aluno errar o cálculo da probabilidade total (por exemplo, esquecendo de multiplicar pelas probabilidades a priori ou trocando os valores de $P(E|M)$ e $P(E|A)$ ).

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

É exatamente o resultado de $\frac{0,015}{0,022} \approx 0,68$ . A conta completa: $P(E) = 0,05 \times 0,3 + 0,01 \times 0,7 = 0,022$ ; $P(M|E) = 0,015 / 0,022 = 0,6818$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

0,73 é outro distrator próximo. Poderia surgir de um arredondamento errado ou de uma inversão na fórmula (por exemplo, usando $P(M)$ no denominador em vez de $P(E)$ ).

Gabarito: letra D