Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2024

Teste de hipóteses para proporção: decisão pelo Z-teste

Gabarito: letra A. O Z-teste calculado é $Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} = \frac{0{,}8 - 0{,}9}{\sqrt{0{,}9 \times 0{,}1/25}} = -1{,}67$, cujo módulo (1,67) é menor que o valor crítico bilateral $Z_{\alpha/2} = 1{,}96$; logo, não se rejeita $H_0$ e não se pode contradizer a afirmação da concessionária. A alternativa A é a única que combina corretamente a decisão estatística com a interpretação prática.

O teste de hipóteses é o procedimento formal para decidir se uma afirmação sobre um parâmetro populacional (aqui, a proporção $p$ de clientes satisfeitos) é sustentada pela evidência amostral. A hipótese nula ($H_0$) é a afirmação que se assume verdadeira até prova em contrário — no caso, $H_0: p = 0{,}9$. A hipótese alternativa ($H_a$) é o que se quer verificar; como o teste é bilateral, $H_a: p \neq 0{,}9$. O nível de significância de 5% define a região de rejeição: valores da estatística de teste além de $\pm 1{,}96$ (na normal padrão) indicam que a amostra é improvável sob $H_0$, levando à rejeição.

A estatística de teste para proporção, quando $n$ é razoavelmente grande e $p_0$ não é extremo, segue aproximadamente a distribuição normal padrão sob $H_0$:

Substituindo os valores do enunciado: $\hat{p} = 20/25 = 0{,}8$, $p_0 = 0{,}9$, $n = 25$:

Atenção: o cálculo correto resulta em $Z \approx -1{,}05$, não $-1{,}67$ (que seria o valor se usássemos $\hat{p}$ no denominador, erro comum). Como $|Z| = 1{,}05 < 1{,}96$, a estatística cai na região de aceitação — não há evidência suficiente para rejeitar $H_0$.

A pegadinha central desta questão está na interpretação da conclusão: rejeitar $H_0$ significa que há evidência estatística para contradizer a afirmação; não rejeitar $H_0$ significa que não há evidência para contradizê-la. As alternativas B e D trocam exatamente essa relação, e as alternativas C e E apresentam conclusões logicamente inconsistentes.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A estatística de teste calculada ($|Z| \approx 1{,}05$) é menor que o valor crítico $Z_{\alpha/2} = 1{,}96$. Portanto, a hipótese nula não é rejeitada. A consequência prática é que não se pode contradizer a afirmação da concessionária — a amostra não traz evidência suficiente para duvidar dos 90%. A alternativa espelha exatamente essa dupla conclusão: decisão estatística (não rejeitar) e interpretação (não contradizer).

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que se rejeita a hipótese nula, o que contraria o cálculo ($|Z| < 1{,}96$). Além disso, a consequência "não se pode contradizer" é incompatível com a rejeição: se houvesse rejeição, haveria evidência para contradizer. A alternativa mistura a decisão errada com a interpretação da alternativa correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A primeira parte está correta (não se rejeita $H_0$), mas a consequência "pode-se contradizer" é o oposto do que a não rejeição significa. Não rejeitar $H_0$ implica ausência de evidência contrária — logo, não se pode contradizer a afirmação. A banca inverte a relação entre decisão e interpretação.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Erra tanto na decisão (rejeitar $H_0$, quando o correto é não rejeitar) quanto na consequência (contradizer, quando não há evidência para isso). É a combinação duplamente incorreta, que confunde o candidato que calcula errado a estatística ou inverte o critério de decisão.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O teste não é inconclusivo: a estatística calculada ($|Z| \approx 1{,}05$) é claramente menor que o valor crítico, permitindo uma decisão objetiva (não rejeitar $H_0$). A alternativa seria plausível se houvesse empate ou falta de informação, o que não ocorre aqui.

Gabarito: letra A.