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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2024

MatemáticaProbabilidade
Código
fg087044
Banca
FGV
Órgão
PC-MG
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
Investigador de Polícia I
Uma delegacia recebeu, no mês de dezembro de 2024, denúncias relacionadas a três tipos de crimes: roubo, fraude eletrônica e tráfico de drogas.Após uma triagem, constatou-se que:• 44% das denúncias são sobre roubos;• 36% das denúncias são sobre fraudes eletrônicas;• 20% das denúncias são sobre tráfico de drogas.Historicamente, sabe-se que 30% das denúncias contra fraudes eletrônicas são improcedentes, assim como 10% das denúncias contra roubo e 20% das denúncias contra tráfico de drogas.Se uma denúncia é escolhida ao acaso, a probabilidade de ela ser contra roubo, sabendo-se que é uma denúncia procedente, é de aproximadamente
  1. A50%
  2. B49%.
  3. C48%.
  4. D47%.
  5. E46%.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 49%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 49% (alternativa B).

A ideia por trás

A probabilidade condicional mede a chance de um evento ocorrer dado que outro já ocorreu. No mundo real, ela responde perguntas como: 'se uma denúncia é procedente, qual a chance de ser sobre roubo?'. O Teorema de Bayes é a ferramenta para inverter condicionamentos: quando sabemos P(procedente | roubo) e queremos P(roubo | procedente), ele combina essas informações com as proporções de cada tipo. A fórmula decorre da definição de probabilidade condicional e do Teorema da Probabilidade Total, que soma as probabilidades de um evento em todas as partes do espaço amostral. Nesta questão, os tipos de crime são mutuamente exclusivos, então a probabilidade total de ser procedente é a soma ponderada das procedências de cada tipo.

O que a questão dá

  • P(Roubo) = 44%

  • P(Fraude) = 36%

  • P(Tráfico) = 20%

  • P(Improcedente | Roubo) = 10%

  • P(Improcedente | Fraude) = 30%

  • P(Improcedente | Tráfico) = 20%

O que queremos: a probabilidade de a denúncia ser contra roubo, dado que é procedente

Passo 1 — Calcular a probabilidade de ser procedente em cada tipo

Precisamos da probabilidade de a denúncia ser procedente para cada tipo de crime, porque o Teorema de Bayes exige essas probabilidades condicionais. O enunciado dá as probabilidades de ser improcedente, então subtraímos de 1 para obter a de ser procedente.

Por que esta fórmula: A probabilidade de um evento complementar é 1 menos a probabilidade do evento original. Se 10% das denúncias de roubo são improcedentes, então 90% são procedentes.

P(Procedente∣Tipo)=1−P(Improcedente∣Tipo)P(Procedente \mid Tipo) = 1 - P(Improcedente \mid Tipo)

De onde vem cada valor: P(Improcedente∣Tipo)P(Improcedente \mid Tipo) = enunciado: 10% para roubo, 30% para fraude, 20% para tráfico

P(Procedente∣Roubo)=1−0,10=0,90P(Procedente \mid Roubo) = 1 - 0{,}10 = 0{,}90

Roubo: 0,90; Fraude: 0,70; Tráfico: 0,80

NÃO CAIA NESSA!

Usar a probabilidade de improcedente diretamente, sem subtrair de 1.

Passo 2 — Multiplicar a procedência pela proporção de cada tipo

O Teorema de Bayes pondera cada probabilidade condicional pela probabilidade do evento condicionante. Precisamos calcular o numerador da fórmula, que é a probabilidade conjunta de ser roubo e procedente.

Por que esta fórmula: A probabilidade da interseção de dois eventos é o produto da probabilidade condicional pela probabilidade do evento condicionante: P(Roubo ∩ Procedente) = P(Procedente | Roubo) · P(Roubo).

P(Roubo∩Procedente)=P(Procedente∣Roubo)⋅P(Roubo)P(Roubo \cap Procedente) = P(Procedente \mid Roubo) \cdot P(Roubo)

De onde vem cada valor: P(Procedente∣Roubo)P(Procedente \mid Roubo) = passo 1: 0,90 · P(Roubo)P(Roubo) = enunciado: 44% = 0,44

P(Roubo∩Procedente)=0,90⋅0,44=0,396=0,396P(Roubo \cap Procedente) = 0{,}90 \cdot 0{,}44 = 0{,}396 = \boxed{0{,}396}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar a ordem: usar P(Roubo | Procedente) em vez de P(Procedente | Roubo).

Passo 3 — Calcular a probabilidade total de ser procedente

O denominador do Teorema de Bayes é a probabilidade total de a denúncia ser procedente, considerando todos os tipos de crime. Como os tipos são mutuamente exclusivos, somamos as probabilidades conjuntas de cada tipo com procedente.

Por que esta fórmula: O Teorema da Probabilidade Total diz que, se os eventos Roubo, Fraude e Tráfico particionam o espaço amostral, então P(Procedente) = P(Procedente|Roubo)·P(Roubo) + P(Procedente|Fraude)·P(Fraude) + P(Procedente|Tráfico)·P(Tráfico).

P(Procedente)=P(Procedente∣Roubo)⋅P(Roubo)+P(Procedente∣Fraude)⋅P(Fraude)+P(Procedente∣Traˊfico)⋅P(Traˊfico)P(Procedente) = P(Procedente \mid Roubo) \cdot P(Roubo) + P(Procedente \mid Fraude) \cdot P(Fraude) + P(Procedente \mid Tráfico) \cdot P(Tráfico)

De onde vem cada valor: P(Procedente∣Roubo)P(Procedente \mid Roubo) = passo 1: 0,90 · P(Roubo)P(Roubo) = enunciado: 0,44 · P(Procedente∣Fraude)P(Procedente \mid Fraude) = passo 1: 0,70 · P(Fraude)P(Fraude) = enunciado: 0,36 · P(Procedente∣Traˊfico)P(Procedente \mid Tráfico) = passo 1: 0,80 · P(Traˊfico)P(Tráfico) = enunciado: 0,20

P(Procedente)=0,90⋅0,44+0,70⋅0,36+0,80⋅0,20=0,396+0,252+0,160=0,808=0,808P(Procedente) = 0{,}90 \cdot 0{,}44 + 0{,}70 \cdot 0{,}36 + 0{,}80 \cdot 0{,}20 = 0{,}396 + 0{,}252 + 0{,}160 = 0{,}808 = \boxed{0{,}808}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar pela proporção de cada tipo, somando apenas as probabilidades condicionais (0,90+0,70+0,80).

Passo 4 — Aplicar o Teorema de Bayes para achar a probabilidade pedida

Agora temos o numerador (probabilidade de ser roubo e procedente) e o denominador (probabilidade total de ser procedente). O Teorema de Bayes divide esses valores para obter a probabilidade condicional invertida.

Por que esta fórmula: O Teorema de Bayes é derivado da definição de probabilidade condicional: P(A|B) = P(A∩B)/P(B). Aqui, A = Roubo e B = Procedente, então usamos os valores calculados.

P(Roubo∣Procedente)=P(Roubo∩Procedente)P(Procedente)P(Roubo \mid Procedente) = \frac{P(Roubo \cap Procedente)}{P(Procedente)}

De onde vem cada valor: P(Roubo∩Procedente)P(Roubo \cap Procedente) = passo 2: 0,396 · P(Procedente)P(Procedente) = passo 3: 0,808

P(Roubo∣Procedente)=0,3960,808≈0,4901P(Roubo \mid Procedente) = \frac{0{,}396}{0{,}808} \approx 0{,}4901
0,4901=49 %0{,}4901 = \boxed{49\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter os eventos: calcular P(Procedente | Roubo) = 90% e achar que é a resposta.

Resposta: 49% (alternativa B)

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